Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dadas las rectas $r \equiv \begin{cases} 2x - 2y = 4 \\ z = 0 \end{cases}$, $s \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y+2}{-2} = \dfrac{z-1}{1}$ y el punto $P(-1,\,0,\,2)$.

a) [1,25 puntos] Determine razonadamente la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

b) [1,25 puntos] Halle razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto $P$ y es paralelo a las rectas $r$ y $s$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Determine razonadamente la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{.}$











Obtenemos un punto y un vector director de cada recta. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-2&0\\0&0&1\end{vmatrix}=(-2,-2,0)$

Simplificando, $\vec v_r=(1,1,0)$; con $y=0$ resulta $x=2$, así que $P(2,0,0)$.

De la ecuación continua de $s$ leemos directamente $Q(0,-2,1)$ y $\vec v_s=(3,-2,1)$.





Los vectores directores no son proporcionales, ya que la tercera coordenada de $\vec v_r$ es nula y la de $\vec v_s$ no: las rectas no son paralelas ni coincidentes.

Para distinguir entre secantes y que se cruzan calculamos el producto mixto con el vector que une los dos puntos.

$\overrightarrow{PQ}=(0,-2,1)-(2,0,0)=(-2,-2,1)$

$\left[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{PQ}\right]=\begin{vmatrix}1&1&0\\3&-2&1\\-2&-2&1\end{vmatrix}=-2-2+0-0+2-3=-5\neq0$

El producto mixto no se anula, luego los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Halle razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ y es paralelo a las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{.}$

Un plano paralelo a las dos rectas tiene como vectores directores los de ambas, de modo que su vector normal es el producto vectorial de los dos.

$\vec n_{\pi}=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&0\\3&-2&1\end{vmatrix}=(1,-1,-5)$

$\pi:x-y-5z+D=0$

Imponemos que pase por el punto $P(-1,0,2)$ del enunciado.

$-1-0-10+D=0\Rightarrow D=11$

La ecuación general del plano es $\pi:x-y-5z+11=0$.

Conviene comprobar que es realmente paralelo a las dos rectas y no las contiene: el punto $(2,0,0)$ de $r$ da $2-0-0+11=13\neq0$, y el punto $(0,-2,1)$ de $s$ da $0+2-5+11=8\neq0$.