Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sean el plano $\pi \equiv x + 2y - z - 4 = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x - 2y - 2 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente la distancia del punto $P(1,\,2,\,-1)$ al plano $\pi$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1,\,-1,\,2)$ y $C(0,\,1,\,1)$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente la distancia del punto } \boldsymbol{P(1,\,2,\,-1)}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, con el plano ya escrito en forma general.

$d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(P,\pi)=\dfrac{|1+2\cdot2-(-1)-4|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{|1+4+1-4|}{\sqrt6}=\dfrac{2}{\sqrt6}$

Racionalizamos el denominador:

$d(P,\pi)=\dfrac{2\sqrt6}{6}=\dfrac{\sqrt6}{3}\approx0{,}8165$

La distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es $\dfrac{\sqrt6}{3}\approx0{,}8165$ unidades de longitud.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ con el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{, y los puntos } \boldsymbol{B(1,\,-1,\,2)}\textbf{ y } \boldsymbol{C(0,\,1,\,1)}\textbf{.}$

Primero hay que localizar el tercer vértice, que es el corte de la recta con el plano. Obtenemos un punto y un vector director de $r$, que viene dada como intersección de dos planos.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-2&0\\0&1&-1\end{vmatrix}=(2,1,1)$

Para el punto damos un valor a una incógnita; con $y=0$ resulta $x=2$ y $z=-2$.

$r:\begin{cases}x=2+2\lambda\\ y=\lambda\\ z=-2+\lambda\end{cases}$

Sustituimos en la ecuación del plano.

$(2+2\lambda)+2\lambda-(-2+\lambda)-4=0\Rightarrow 3\lambda=0\Rightarrow \lambda=0$

$M(2,0,-2)$











El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{MB}=(1,-1,2)-(2,0,-2)=(-1,-1,4)$

$\overrightarrow{MC}=(0,1,1)-(2,0,-2)=(-2,1,3)$





$\overrightarrow{MB}\times\overrightarrow{MC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&-1&4\\-2&1&3\end{vmatrix}=(-7,-5,-3)$

$\left|\overrightarrow{MB}\times\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{49+25+9}=\sqrt{83}$

$\text{Área}=\dfrac{\sqrt{83}}{2}\approx4{,}5552$

El área del triángulo es $\dfrac{\sqrt{83}}{2}\approx4{,}5552$ unidades cuadradas.