Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int \dfrac{-dx}{1+e^x}$. (Cambio de variable sugerido: $e^x = t$.)

b) [1,25 puntos] Determine justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ y $g(x) = x + 2$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{-dx}{1+e^x}}\textbf{. (Cambio de variable sugerido: } \boldsymbol{e^x = t}\textbf{.)}$

Aplicamos el cambio de variable sugerido, que transforma la exponencial en una función racional.

$e^x=t\Rightarrow x=\ln t,\qquad dx=\dfrac{dt}{t}$

$\int\dfrac{-dx}{1+e^x}=\int\dfrac{-1}{1+t}\cdot\dfrac{dt}{t}=-\int\dfrac{dt}{t(1+t)}$

Descomponemos en fracciones simples.

$\dfrac{1}{t(t+1)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+1}\Rightarrow 1=A(t+1)+Bt$

$t=0\Rightarrow A=1;\qquad t=-1\Rightarrow B=-1$

$-\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)dt=-\ln|t|+\ln|t+1|+C$

Deshacemos el cambio con $t=e^x$, que es siempre positivo:

$\int\dfrac{-dx}{1+e^x}=-\ln(e^x)+\ln(e^x+1)+C=-x+\ln\left(e^x+1\right)+C$

$\textbf{b) [1,25 puntos] Determine justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f(x) = -x^2 + 2x + 4}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x) = x + 2}\textbf{.}$

Buscamos los puntos de corte de las dos curvas, que son los límites de integración.

$-x^2+2x+4=x+2\Rightarrow -x^2+x+2=0\Rightarrow x^2-x-2=0$

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}$

Averiguamos cuál va por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$:

$f(0)=4>g(0)=2$



El área es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo.

$A=\int_{-1}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_{-1}^{2}\left(-x^2+x+2\right)dx$

$A=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)$

$A=-\dfrac{8}{3}+6-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{-16+36-2-3+12}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$

El área acotada que encierran las dos gráficas es $\dfrac{9}{2}=4{,}5$ unidades cuadradas.