Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

a) [1,5 puntos] Calcule las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de $108\ \text{dm}^3$ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 + x - 1$ en el punto de abscisa $x = 1$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Calcule las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de } \boldsymbol{108\ \text{dm}^3}\textbf{ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.}$











Llamamos $x$ al lado de la base cuadrada e $y$ a la altura. Al no haber tapa, la superficie la forman la base y las cuatro caras laterales.

$S=x^2+4xy$

El dato del volumen relaciona las dos variables y permite dejar la superficie en función de una sola.

$V=x^2y=108\Rightarrow y=\dfrac{108}{x^2}$





$S(x)=x^2+4x\cdot\dfrac{108}{x^2}=x^2+\dfrac{432}{x},\qquad x>0$

Buscamos el mínimo anulando la derivada primera.

$S'(x)=2x-\dfrac{432}{x^2}$

$S'(x)=0\Rightarrow 2x=\dfrac{432}{x^2}\Rightarrow x^3=216\Rightarrow x=6$

Comprobamos con la derivada segunda que es un mínimo.

$S''(x)=2+\dfrac{864}{x^3}\Rightarrow S''(6)=2+4=6>0$

Es el único extremo del dominio $x>0$, con la función decreciente a su izquierda y creciente a su derecha, de modo que el mínimo relativo es también el absoluto. La altura correspondiente es

$y=\dfrac{108}{6^2}=\dfrac{108}{36}=3$

Las dimensiones que hacen mínima la superficie son una base cuadrada de $6\ \text{dm}$ de lado y una altura de $3\ \text{dm}$; la superficie resultante es $S(6)=36+72=108\ \text{dm}^2$.

$\textbf{b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = x^2 + x - 1}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{.}$

Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$f(1)=1+1-1=1$

$f'(x)=2x+1\Rightarrow f'(1)=3$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente.

$y-1=3(x-1)\Rightarrow y=3x-2$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y=3x-2$.