Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\operatorname{sen}(2x)} \right)$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x) = \begin{cases} 2^{(x-1)} & \text{si } x \leq 1 \\ x - 2 & \text{si } 1 < x < 2 \\ \ln(x-1) & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

donde ln es el logaritmo neperiano, estudie la continuidad de la función $f(x)$ en $x = 1$ y en $x = 2$, y clasifique el tipo de discontinuidad si las hubiera.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: } \boldsymbol{\lim_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\operatorname{sen}(2x)} \right)}\textbf{.}$

Los dos sumandos tienden a $+\infty$, de modo que aparece la indeterminación $\infty-\infty$. La deshacemos poniendo denominador común, que la convierte en una del tipo $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x\to0^+}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\operatorname{sen}(2x)}\right)=\lim_{x\to0^+}\dfrac{\operatorname{sen}(2x)-x}{x\operatorname{sen}(2x)}=\left(\dfrac{0}{0}\right)$

Aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{x\to0^+}\dfrac{2\cos(2x)-1}{\operatorname{sen}(2x)+2x\cos(2x)}=\dfrac{2-1}{0+0}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty$

El denominador tiende a cero por valores positivos, ya que para $x\to0^+$ tanto $\operatorname{sen}(2x)$ como $2x\cos(2x)$ son positivos.

El límite vale $+\infty$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Dada la función}$

$\boldsymbol{f(x) = \begin{cases} 2^{(x-1)} & \text{si } x \leq 1 \\ x - 2 & \text{si } 1 < x < 2 \\ \ln(x-1) & \text{si } x \geq 2 \end{cases}}$

$\textbf{donde ln es el logaritmo neperiano, estudie la continuidad de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y en } \boldsymbol{x = 2}\textbf{, y clasifique el tipo de discontinuidad si las hubiera.}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es una exponencial, la segunda un polinomio y la tercera un logaritmo, que exige $x-1>0$, es decir, $x>1$, cosa que se cumple en todo su tramo. Solo hay que estudiar los dos empalmes.

En $x=1$:

$f(1)=\lim_{x\to1^-}2^{x-1}=2^{0}=1$

$\lim_{x\to1^+}(x-2)=1-2=-1$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego no existe el límite en $x=1$.

En $x=2$:

$\lim_{x\to2^-}(x-2)=0$

$f(2)=\lim_{x\to2^+}\ln(x-1)=\ln1=0$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función.

La función es continua en $x=2$ y discontinua en $x=1$, donde presenta una discontinuidad de salto finito, de salto $-1-1=-2$.