Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int \dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}\,dx$.

b) [1,25 puntos] Calcule, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función $g(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x$ y el eje de abscisas.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}\,dx}\textbf{.}$

Factorizamos el denominador, que es un cuadrado perfecto y tiene por tanto una raíz doble.

$x^2-2x+1=(x-1)^2$

Con raíz doble la descomposición en fracciones simples lleva dos sumandos, pero aquí es más rápido escribir el numerador en función de $x-1$.

$3x-2=3(x-1)+1$

$\int\dfrac{3x-2}{(x-1)^2}\,dx=\int\dfrac{3(x-1)+1}{(x-1)^2}\,dx=\int\dfrac{3}{x-1}\,dx+\int\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$

La primera integral es logarítmica y la segunda, una potencia de exponente $-2$.

$=3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$

$\int\dfrac{3x-2}{x^2-2x+1}\,dx=3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{g(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x}\textbf{ y el eje de abscisas.}$

Buscamos los cortes con el eje de abscisas, que son los límites de integración.

$-x^3+2x^2+3x=0\Rightarrow -x\left(x^2-2x-3\right)=0\Rightarrow -x(x-3)(x+1)=0$

$x=-1,\qquad x=0,\qquad x=3$

La función cambia de signo en cada raíz, porque las tres son simples, así que hay dos recintos y hay que integrar por tramos tomando valores absolutos. Comprobamos el signo con un punto de cada intervalo:

$g(-0{,}5)=-0{,}875<0,\qquad g(1)=4>0$



Calculamos una primitiva y evaluamos en cada tramo.

$G(x)=-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}$

$\int_{-1}^{0}g(x)\,dx=G(0)-G(-1)=0-\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{7}{12}$

$\int_{0}^{3}g(x)\,dx=G(3)-G(0)=-\dfrac{81}{4}+18+\dfrac{27}{2}=\dfrac{45}{4}$

$A=\left|-\dfrac{7}{12}\right|+\dfrac{45}{4}=\dfrac{7}{12}+\dfrac{135}{12}=\dfrac{142}{12}=\dfrac{71}{6}$

El área acotada del recinto es $\dfrac{71}{6}\approx11{,}8333$ unidades cuadradas.