Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1}$.

a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifíquelos.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y clasifíquelos.}$

El denominador $x^2+1$ no se anula nunca, así que la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos por la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{(2x-2)\left(x^2+1\right)-\left(x^2-2x+1\right)2x}{\left(x^2+1\right)^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x^3+2x-2x^2-2-2x^3+4x^2-2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2x^2-2}{\left(x^2+1\right)^2}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de $f'$ es el de $2(x^2-1)$.

$2\left(x^2-1\right)=0\Rightarrow x=\pm1$



La parábola $x^2-1$ es positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas, así que la función crece, decrece y vuelve a crecer. Por tanto:

En $x=-1$ la función pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo.

En $x=1$ pasa de decreciente a creciente: hay un mínimo relativo.

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(-1)=\dfrac{1+2+1}{1+1}=\dfrac{4}{2}=2,\qquad f(1)=\dfrac{1-2+1}{1+1}=\dfrac{0}{2}=0$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,0)$.

$\textbf{b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{.}$

Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$f(0)=\dfrac{0-0+1}{0+1}=1$

$f'(0)=\dfrac{2\cdot0-2}{(0+1)^2}=-2$

Recta tangente, por la ecuación punto-pendiente:

$y-1=-2(x-0)\Rightarrow y=-2x+1$

La recta normal es perpendicular a la tangente en ese punto, así que su pendiente es la opuesta de la inversa.

$m_{n}=-\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac{1}{2}$

$y-1=\dfrac{1}{2}(x-0)\Rightarrow y=\dfrac{x}{2}+1$

La recta tangente es $y=-2x+1$ y la recta normal, $y=\dfrac{x}{2}+1$.