Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{x-2} & \text{si } x < 2 \\[4pt] \cos(\pi x) & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \\[4pt] \dfrac{\ln(x-2)}{3-x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$

a) [1,5 puntos] Determine razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcule los puntos en los que es discontinua y clasifique el tipo de discontinuidad, si los hubiera.

b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 0} \dfrac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)}$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Determine razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcule los puntos en los que es discontinua y clasifique el tipo de discontinuidad, si los hubiera.}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es una función racional que solo falla en $x=2$, valor que no pertenece a su tramo; la segunda es un coseno; y la tercera es un cociente de funciones continuas cuyo denominador se anula en $x=3$, valor que tampoco pertenece a su tramo, y cuyo logaritmo exige $x>2$, lo que se cumple en todo el tramo. Solo hay que estudiar los dos empalmes, $x=2$ y $x=3$.

En $x=2$:

$\lim_{x\to2^-}\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{3}{0^-}=-\infty$

$f(2)=\lim_{x\to2^+}\cos(\pi x)=\cos(2\pi)=1$

El límite por la izquierda es infinito, de modo que la función tiene ahí una asíntota vertical.

En $x=3$:

$f(3)=\lim_{x\to3^-}\cos(\pi x)=\cos(3\pi)=-1$

$\lim_{x\to3^+}\dfrac{\ln(x-2)}{3-x}=\left(\dfrac{0}{0}\right)\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{x\to3^+}\dfrac{\frac{1}{x-2}}{-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, luego $f$ es continua en $x=3$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{2\}$ y presenta en $x=2$ una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical por la izquierda.

$\textbf{b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: } \boldsymbol{\lim_{x \to 0} \dfrac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)}}\textbf{.}$

Al sustituir, el numerador vale $0$ y el denominador $1+0-1=0$: estamos ante una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to0}\dfrac{xe^{-x}}{1+2x-\cos(x^2)}\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{x\to0}\dfrac{e^{-x}-xe^{-x}}{2+2x\operatorname{sen}(x^2)}$

Ahora la sustitución ya no da indeterminación.

$=\dfrac{1-0}{2+0}=\dfrac{1}{2}$

El límite vale $\dfrac{1}{2}$.