Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} ax - ay - z = a \\ ax - ay \phantom{{}- z} = a \\ ax + 2y - z = 1 \end{cases}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

$\textbf{a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{:}$

$\boldsymbol{\begin{cases} ax - ay - z = a \\ ax - ay = a \\ ax + 2y - z = 1 \end{cases}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}a&-a&-1\\ a&-a&0\\ a&2&-1\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}a&-a&-1&a\\ a&-a&0&a\\ a&2&-1&1\end{pmatrix}$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}a&-a&-1\\ a&-a&0\\ a&2&-1\end{vmatrix}=a^2+0-2a-a^2-0-a^2=-a^2-2a$

$-a(a+2)=0\Rightarrow\begin{cases}a=0\\a=-2\end{cases}$

Si $a\neq0$ y $a\neq-2$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3$: el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Si $a=0$, el sistema queda

$\begin{cases}-z=0\\ 0=0\\ 2y-z=1\end{cases}$

La segunda ecuación desaparece. En la matriz de coeficientes, el menor $\begin{vmatrix}0&-1\\2&-1\end{vmatrix}=2\neq0$ formado con las filas primera y tercera y las columnas segunda y tercera da $\operatorname{ran}(A)=2$, y la ampliada no puede pasar de $2$ porque su segunda fila es nula.

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3\Rightarrow \text{compatible indeterminado}$

Si $a=-2$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}-2&2&-1&-2\\ -2&2&0&-2\\ -2&2&-1&1\end{pmatrix}$

La primera y la tercera filas tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente, luego el sistema es incompatible. Formalmente, $\operatorname{ran}(A)=2$ —con el menor $\begin{vmatrix}-2&-1\\-2&0\end{vmatrix}=-2\neq0$— mientras que

$\begin{vmatrix}-2&-1&-2\\-2&0&-2\\-2&-1&1\end{vmatrix}=0-4-4-0-4-2=-6\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

En resumen: solución única para $a\neq0$ y $a\neq-2$; infinitas soluciones para $a=0$; y ninguna solución para $a=-2$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, si es posible.}$

Como $2\neq0$ y $2\neq-2$, sí es posible: el sistema es compatible determinado.

$\begin{cases}2x-2y-z=2\\ 2x-2y=2\\ 2x+2y-z=1\end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene directamente el valor de $z$:

$-z=0\Rightarrow z=0$

Con $z=0$, las ecuaciones segunda y tercera dan

$\begin{cases}2x-2y=2\\ 2x+2y=1\end{cases}$

Sumándolas, $4x=3\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}$, y restándolas, $4y=-1\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}$.

La solución del sistema para $a=2$ es $x=\dfrac{3}{4}$, $y=-\dfrac{1}{4}$, $z=0$.