Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

a) [1 punto] Sea la función $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1$, con $a,\,b \in \mathbb{R}$. Determine los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1,\,1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x) = x \operatorname{sen}(x) - \cos(x)$. Enuncie el teorema de Rolle y úselo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1,\,1]$.

$\textbf{a) [1 punto] Sea la función } \boldsymbol{f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1}\textbf{, con } \boldsymbol{a,\,b \in \mathbb{R}}\textbf{. Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ pase por el punto } \boldsymbol{(1,\,1)}\textbf{ y tenga aquí un punto de inflexión.}$

Traducimos a ecuaciones las dos condiciones. Necesitamos la derivada segunda, que es la que detecta los puntos de inflexión.

$f'(x)=3ax^2+2bx+1,\qquad f''(x)=6ax+2b$

i) La gráfica pasa por $(1,1)$, luego $f(1)=1$:

$a+b+1-1=1\Rightarrow a+b=1$

ii) En $x=1$ hay un punto de inflexión, luego $f''(1)=0$:

$6a+2b=0\Rightarrow 3a+b=0$

Restando la primera ecuación de la segunda, $2a=-1\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$, y de ahí $b=1-a=\dfrac{3}{2}$.

Comprobamos que la inflexión es verdadera: $f'''(x)=6a=-3\neq0$, de modo que la derivada segunda cambia de signo en $x=1$.

Los valores pedidos son $a=-\dfrac{1}{2}$ y $b=\dfrac{3}{2}$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sea la función } \boldsymbol{f(x) = x \operatorname{sen}(x) - \cos(x)}\textbf{. Enuncie el teorema de Rolle y úselo para razonar si la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo } \boldsymbol{[-1,\,1]}\textbf{.}$

Enunciado del teorema: si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, derivable en el abierto $(a,b)$ y toma el mismo valor en los extremos, $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un punto $c\in(a,b)$ en el que $f'(c)=0$.

Comprobamos las tres hipótesis.

i) $f$ es suma y producto de funciones continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$, luego lo es en $[-1,1]$ y en $(-1,1)$.

ii) Evaluamos en los extremos, recordando que el seno es impar y el coseno par:

$f(-1)=(-1)\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1)=\operatorname{sen}(1)-\cos(1)$

$f(1)=1\cdot\operatorname{sen}(1)-\cos(1)=\operatorname{sen}(1)-\cos(1)$

$f(-1)=f(1)$

Se cumplen las hipótesis, así que existe al menos un $c\in(-1,1)$ con $f'(c)=0$. Ese punto es candidato a extremo relativo; veamos que lo es.

$f'(x)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)=2\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)$

$f'(0)=0+0=0$

$f''(x)=3\cos(x)-x\operatorname{sen}(x)\Rightarrow f''(0)=3>0$

Sí: la función tiene al menos un extremo relativo en $[-1,1]$, concretamente un mínimo relativo en $x=0$, de valor $f(0)=-1$.