Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x) = \dfrac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}$.

a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifíquelos.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y clasifíquelos.}$

El denominador $3x^2+3=3(x^2+1)$ no se anula nunca, así que la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos por la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{(4x+2)\left(3x^2+3\right)-\left(2x^2+2x-2\right)6x}{\left(3x^2+3\right)^2}$

$f'(x)=\dfrac{12x^3+12x+6x^2+6-12x^3-12x^2+12x}{9\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{-6x^2+24x+6}{9\left(x^2+1\right)^2}$

$f'(x)=\dfrac{2\left(-x^2+4x+1\right)}{3\left(x^2+1\right)^2}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de $f'$ es el del trinomio del numerador.

$-x^2+4x+1=0\Rightarrow x^2-4x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt5$



Un trinomio con el coeficiente principal negativo es negativo fuera de sus raíces y positivo entre ellas, así que la función decrece, crece y vuelve a decrecer. Por tanto:

En $x=2-\sqrt5\approx-0{,}2361$ la función pasa de decreciente a creciente: hay un mínimo relativo.

En $x=2+\sqrt5\approx4{,}2361$ pasa de creciente a decreciente: hay un máximo relativo.

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f\left(2-\sqrt5\right)=-\dfrac{\sqrt5}{3}\approx-0{,}7454,\qquad f\left(2+\sqrt5\right)=\dfrac{\sqrt5}{3}\approx0{,}7454$

La función tiene un mínimo relativo en $\left(2-\sqrt5,\,-\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx(-0{,}2361;\,-0{,}7454)$ y un máximo relativo en $\left(2+\sqrt5,\,\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx(4{,}2361;\,0{,}7454)$.

$\textbf{b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{.}$

Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$f(1)=\dfrac{2+2-2}{3+3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

$f'(1)=\dfrac{2(-1+4+1)}{3\cdot(1+1)^2}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$

Recta tangente, por la ecuación punto-pendiente:

$y-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}(x-1)\Rightarrow y=\dfrac{2x-1}{3}$

La recta normal es perpendicular a la tangente en ese punto, así que su pendiente es la opuesta de la inversa.

$m_{n}=-\dfrac{1}{f'(1)}=-\dfrac{3}{2}$

$y-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{2}(x-1)\Rightarrow y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{6}$

La recta tangente es $y=\dfrac{2x-1}{3}$ y la recta normal, $y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{6}$.