Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{e^{x-1} - 1}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{1}{x-1} & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ x & \text{si } x > 2 \end{cases}$

estudie su continuidad en $x = 0$ y en $x = 2$ e indique el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: } \boldsymbol{\lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{e^{x-1} - 1}}\textbf{.}$

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

$\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{e^{x-1}-1}=\left(\dfrac{0}{0}\right)\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{x\to1}\dfrac{1}{e^{x-1}}=\dfrac{1}{e^{0}}=1$

El límite vale $1$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Dada la función}$

$\boldsymbol{f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{1}{x-1} & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ x & \text{si } x > 2 \end{cases}}$

$\textbf{estudie su continuidad en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y en } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ e indique el tipo de discontinuidad, si la hubiera.}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es una exponencial, la tercera un polinomio y la segunda una función racional, que solo falla en $x=1$. Estudiamos los dos puntos que pide el enunciado.

En $x=0$ calculamos los límites laterales y el valor de la función.

$\lim_{x\to0^-}e^{x}=e^{0}=1$

$f(0)=\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, de modo que en $x=0$ hay una discontinuidad de salto finito, de salto $-1-1=-2$.

En $x=2$ procedemos igual.

$f(2)=\lim_{x\to2^-}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{1}=1$

$\lim_{x\to2^+}x=2$

De nuevo los límites laterales son finitos y distintos: en $x=2$ hay una discontinuidad de salto finito, de salto $2-1=1$.

La función presenta discontinuidades de salto finito en $x=0$ y en $x=2$. Conviene observar además que $x=1$ no pertenece al dominio, ya que anula el denominador de la rama central.