Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sean los planos $\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3$ y $\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0$.

a) [1 punto] Determine razonadamente el valor de $a$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares.

b) [1,5 puntos] Para $a = 1$ calcule la distancia del punto $P(2,\,0,\,1)$ al plano $\pi_1$.

$\textbf{a) [1 punto] Determine razonadamente el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que los planos } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{ sean perpendiculares.}$











Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar se anula. Los leemos en los coeficientes de las ecuaciones.

$\vec n_1=(a,1,2),\qquad \vec n_2=(2,-1,a)$

$\vec n_1\cdot\vec n_2=2a-1+2a=4a-1$





$4a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}$

Los dos planos son perpendiculares para $a=\dfrac{1}{4}$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{ calcule la distancia del punto } \boldsymbol{P(2,\,0,\,1)}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{.}$

Para $a=1$ el plano es $\pi_1:x+y+2z=3$, que escribimos en forma general.

$\pi_1:x+y+2z-3=0$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(P,\pi_1)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\dfrac{|2+0+2\cdot1-3|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}$

$d(P,\pi_1)=\dfrac{|1|}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}$

Racionalizamos el denominador:

$d(P,\pi_1)=\dfrac{\sqrt6}{6}\approx0{,}4082$

La distancia del punto $P$ al plano $\pi_1$ es $\dfrac{\sqrt6}{6}\approx0{,}4082$ unidades de longitud.