Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int x \cdot \cos(3x)\,dx$.

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int \dfrac{dx}{2x^2+1}$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int x \cdot \cos(3x)\,dx}\textbf{.}$

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que integramos por partes derivando el polinomio.

$\begin{cases}u=x & du=dx\\ dv=\cos(3x)\,dx & v=\dfrac{1}{3}\operatorname{sen}(3x)\end{cases}$

$\int x\cos(3x)\,dx=\dfrac{x}{3}\operatorname{sen}(3x)-\dfrac{1}{3}\int \operatorname{sen}(3x)\,dx$

$=\dfrac{x}{3}\operatorname{sen}(3x)-\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\cos(3x)\right)+C$

$\int x\cos(3x)\,dx=\dfrac{x}{3}\operatorname{sen}(3x)+\dfrac{1}{9}\cos(3x)+C$

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{dx}{2x^2+1}}\textbf{.}$

El denominador no tiene raíces reales, de modo que la integral es de tipo arco tangente. Escribimos el denominador en la forma $u^2+1$.

$2x^2+1=\left(\sqrt2\,x\right)^2+1$

$\int\dfrac{dx}{\left(\sqrt2\,x\right)^2+1}$

Para que en el numerador aparezca la derivada de $\sqrt2\,x$, multiplicamos y dividimos por $\sqrt2$.

$=\dfrac{1}{\sqrt2}\int\dfrac{\sqrt2\,dx}{\left(\sqrt2\,x\right)^2+1}=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\left(\sqrt2\,x\right)+C$

$\int\dfrac{dx}{2x^2+1}=\dfrac{\sqrt2}{2}\arctan\left(\sqrt2\,x\right)+C$