Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x \phantom{{}+ ay} + z = a \\ ax + 2y + z = 3 \end{cases}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

$\textbf{a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{:}$

$\boldsymbol{\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x + z = a \\ ax + 2y + z = 3 \end{cases}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}1&a&1\\1&0&1\\ a&2&1\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}1&a&1&2\\1&0&1&a\\ a&2&1&3\end{pmatrix}$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}1&a&1\\1&0&1\\ a&2&1\end{vmatrix}=0+a^2+2-0-2-a=a^2-a$

$a^2-a=0\Rightarrow a(a-1)=0\Rightarrow\begin{cases}a=0\\a=1\end{cases}$

Si $a\neq0$ y $a\neq1$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3$: el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Si $a=0$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}1&0&1&2\\1&0&1&0\\0&2&1&3\end{pmatrix}$

El menor $\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0$ da $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlándolo con la columna de términos independientes,

$\begin{vmatrix}1&0&2\\1&0&0\\0&2&3\end{vmatrix}=0+0+4-0-0-0=4\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

luego el sistema es incompatible. Se ve directamente en las dos primeras ecuaciones, que tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Si $a=1$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&2\\1&0&1&1\\1&2&1&3\end{pmatrix}$

De nuevo $\operatorname{ran}(A)=2$, con el menor $\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0$. Al orlarlo,

$\begin{vmatrix}1&1&2\\1&0&1\\1&2&3\end{vmatrix}=0+1+4-0-2-3=0$

y el otro menor de orden $3$ es $|A|=0$, de modo que $\operatorname{ran}(A^*)=2$.

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

En resumen: solución única para $a\neq0,1$; ninguna solución para $a=0$; e infinitas soluciones para $a=1$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, si es posible.}$

Como $2\neq0$ y $2\neq1$, sí es posible: el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases}x+2y+z=2\\ x+z=2\\ 2x+2y+z=3\end{cases},\qquad |A|=2^2-2=2$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&2&1\\2&0&1\\3&2&1\end{vmatrix}}{2}=\dfrac{0+6+4-0-4-4}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&1\\1&2&1\\2&3&1\end{vmatrix}}{2}=\dfrac{0}{2}=0$

El determinante del numerador es nulo porque su primera y su segunda filas son iguales.

$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&2\\1&0&2\\2&2&3\end{vmatrix}}{2}=\dfrac{0+8+4-0-4-6}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

La solución del sistema para $a=2$ es $x=1$, $y=0$, $z=1$.