Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sean las matrices

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad e \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX + 3I = A$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos por él.

$|A|=\begin{vmatrix}3&1&2\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=0+0+2-0-3-1=-2\neq0$

La matriz es regular. Aplicamos la fórmula de la inversa a partir de la adjunta de la traspuesta.

$A^{\top}=\begin{pmatrix}3&1&0\\1&0&1\\2&1&1\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A^{\top})=\begin{pmatrix}-1&1&1\\-1&3&-1\\1&-3&-1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{\top})=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&1&1\\-1&3&-1\\1&-3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\[2pt] \frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\[2pt] -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando, por ejemplo, la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$: $3\cdot\frac12+1\cdot\frac12+2\cdot\left(-\frac12\right)=1$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ de la ecuación matricial } \boldsymbol{AX + 3I = A}\textbf{.}$

Despejamos $X$ teniendo en cuenta que aparece multiplicada por la izquierda, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

$AX+3I=A\Rightarrow AX=A-3I\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}(A-3I)\Rightarrow X=A^{-1}(A-3I)$

Distribuyendo el producto, la expresión se simplifica:

$X=A^{-1}A-3A^{-1}=I-3A^{-1}$

$X=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\[2pt] \frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\[2pt] -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\[2pt] -\frac{3}{2}&\frac{11}{2}&-\frac{3}{2}\\[2pt] \frac{3}{2}&-\frac{9}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&3&3\\-3&11&-3\\3&-9&-1\end{pmatrix}$.