Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

a) Se sabe que el 20 % de los usuarios de una red social nunca comparte fotografías, mientras que el otro 80 % sí que lo hace. Además, de los usuarios que no comparten fotografías, el 50 % ha comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos. De los usuarios que comparten fotografías, se sabe que el 90 % ha comentado alguna vez una fotografía de sus contactos. Elegimos un usuario de esta red social al azar.

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?

b) Un algoritmo de reconocimiento facial es capaz de identificar de manera correcta al 80 % de las personas a partir de sus fotografías. Se procesan las fotografías de 4 personas con este algoritmo.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 4 personas de las fotografías?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?

Nombramos los sucesos del apartado a): $F$, el usuario comparte fotografías, y $C$, el usuario ha comentado alguna vez una fotografía de un contacto. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en comentario.

$P(C)=P(F)\cdot P(C\mid F)+P(\overline{F})\cdot P(C\mid\overline{F})$

$P(C)=0{,}80\cdot0{,}90+0{,}20\cdot0{,}50=0{,}72+0{,}10=0{,}82$

La probabilidad de que haya comentado alguna vez una fotografía de un contacto es $0{,}82$, es decir, un $82\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?}$

No haber comentado nunca es el suceso contrario del anterior.

$P(\overline{C})=1-P(C)=1-0{,}82=0{,}18$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(F\mid\overline{C})=\dfrac{P(F)\cdot P(\overline{C}\mid F)}{P(\overline{C})}=\dfrac{0{,}80\cdot0{,}10}{0{,}18}=\dfrac{0{,}08}{0{,}18}$

$P(F\mid\overline{C})=\dfrac{4}{9}\approx0{,}4444$

Si el usuario nunca ha comentado, la probabilidad de que comparta fotos es $\dfrac{4}{9}\approx0{,}4444$: bastante menor que el $80\%$ de partida, porque los que comparten fotos casi siempre comentan.

Llamamos $X$ al número de personas identificadas correctamente entre las cuatro. Los cuatro procesados son independientes y en todos la probabilidad de acierto es la misma, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(4;\,0{,}8)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 4 personas de las fotografías?}$

Aplicamos la función de probabilidad de la distribución binomial.

$P(X=4)=\binom{4}{4}\,0{,}8^{4}\,0{,}2^{0}=0{,}8^4=0{,}4096$

La probabilidad de identificar correctamente a las cuatro personas es $0{,}4096$, es decir, un $40{,}96\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?}$

Acertar al menos una es el suceso contrario de no acertar ninguna, que es un único sumando.

$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\binom{4}{0}\,0{,}8^{0}\,0{,}2^{4}$

$P(X\geq1)=1-0{,}0016=0{,}9984$

La probabilidad de identificar correctamente al menos a una persona es $0{,}9984$, es decir, un $99{,}84\%$.