Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 2} \dfrac{e^{x-2} - 1}{2x - 4}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{2x-1}{x-2} & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \\ 2e^x & \text{si } x > 3 \end{cases}$

determine razonadamente su dominio y estudie su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indique razonadamente el tipo de discontinuidad.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: } \boldsymbol{\lim_{x \to 2} \dfrac{e^{x-2} - 1}{2x - 4}}\textbf{.}$

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

$\lim_{x\to2}\dfrac{e^{x-2}-1}{2x-4}=\left(\dfrac{0}{0}\right)\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{x\to2}\dfrac{e^{x-2}}{2}=\dfrac{e^{0}}{2}=\dfrac{1}{2}$

El límite vale $\dfrac{1}{2}$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Dada la función}$

$\boldsymbol{f(x) = \begin{cases} x^2 - 2 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{2x-1}{x-2} & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \\ 2e^x & \text{si } x > 3 \end{cases}}$

$\textbf{determine razonadamente su dominio y estudie su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indique razonadamente el tipo de discontinuidad.}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es un polinomio, la tercera una exponencial y la segunda una función racional, que solo falla donde se anula su denominador.

$x-2=0\Rightarrow x=2$

Como $2$ pertenece al tramo $1\leq x\leq3$, queda fuera del dominio.

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{2\}$

Los puntos que hay que estudiar son los dos empalmes, $x=1$ y $x=3$, y el punto conflictivo $x=2$.

En $x=1$:

$\lim_{x\to1^-}\left(x^2-2\right)=-1,\qquad f(1)=\lim_{x\to1^+}\dfrac{2x-1}{x-2}=\dfrac{1}{-1}=-1$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, luego $f$ es continua en $x=1$.

En $x=2$ el denominador se anula sin anularse el numerador:

$\lim_{x\to2^-}\dfrac{2x-1}{x-2}=\dfrac{3}{0^-}=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}\dfrac{2x-1}{x-2}=\dfrac{3}{0^+}=+\infty$

En $x=3$:

$f(3)=\dfrac{6-1}{3-2}=5,\qquad \lim_{x\to3^+}2e^{x}=2e^3\approx40{,}1711$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{2,3\}$. En $x=2$ presenta una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical, y en $x=3$ una discontinuidad de salto finito, de salto $2e^3-5\approx35{,}1711$.