Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

a) [1 punto] Sea la función $f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b$ con $a,\,b \in \mathbb{R}$. Determine razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(1,\,2)$ y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 1 & x < 0 \\ be^x & x \geq 0 \end{cases}$, con $a,\,b \in \mathbb{R}$. Determine razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 0$.

$\textbf{a) [1 punto] Sea la función } \boldsymbol{f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b}\textbf{ con } \boldsymbol{a,\,b \in \mathbb{R}}\textbf{. Determine razonadamente los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la gráfica de la función pase por el punto } \boldsymbol{(1,\,2)}\textbf{ y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.}$

Traducimos a ecuaciones las dos condiciones. La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en él.

$f'(x)=3ax^2-4x-1$

i) La gráfica pasa por $(1,2)$, luego $f(1)=2$:

$a-2-1+b=2\Rightarrow a+b=5$

ii) La pendiente en $x=1$ vale $1$, luego $f'(1)=1$:

$3a-4-1=1\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2$

Llevando $a=2$ a la primera ecuación, $2+b=5\Rightarrow b=3$.

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=3$, es decir, $f(x)=2x^3-2x^2-x+3$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sea la función } \boldsymbol{f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 1 & x < 0 \\ be^x & x \geq 0 \end{cases}}\textbf{, con } \boldsymbol{a,\,b \in \mathbb{R}}\textbf{. Determine razonadamente los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función sea continua y derivable en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{.}$

Cada rama es continua y derivable donde está definida, por ser un polinomio y una exponencial, de modo que solo hay que imponer las condiciones en el punto de empalme.

i) Continuidad en $x=0$: los dos límites laterales han de coincidir con el valor de la función.

$\lim_{x\to0^-}\left(x^2-ax+1\right)=1,\qquad \lim_{x\to0^+}be^{x}=b=f(0)$

$b=1$

ii) Derivabilidad en $x=0$: las derivadas laterales han de coincidir.

$f'(x)=\begin{cases}2x-a & x<0\\ be^{x} & x>0\end{cases}$

$f'(0^-)=-a,\qquad f'(0^+)=b=1$

$-a=1\Rightarrow a=-1$

La función es continua y derivable en $x=0$ para $a=-1$ y $b=1$. Conviene recordar el orden: la continuidad es condición necesaria para la derivabilidad, así que primero se impone aquella y después esta.