Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int \dfrac{2}{3 + e^x}\,dx$. (Cambio de variable sugerido: $e^x = t$.)

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: $\displaystyle\int \dfrac{-x+1}{x^2+3}\,dx$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{2}{3 + e^x}\,dx}\textbf{. (Cambio de variable sugerido: } \boldsymbol{e^x = t}\textbf{.)}$

Aplicamos el cambio de variable sugerido, que transforma la exponencial en una función racional.

$e^x=t\Rightarrow x=\ln t,\qquad dx=\dfrac{dt}{t}$

$\int\dfrac{2}{3+e^x}\,dx=\int\dfrac{2}{(3+t)\,t}\,dt$

Descomponemos en fracciones simples.

$\dfrac{2}{t(t+3)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+3}\Rightarrow 2=A(t+3)+Bt$

$t=0\Rightarrow 2=3A\Rightarrow A=\dfrac{2}{3};\qquad t=-3\Rightarrow 2=-3B\Rightarrow B=-\dfrac{2}{3}$

$\int\left(\dfrac{2/3}{t}-\dfrac{2/3}{t+3}\right)dt=\dfrac{2}{3}\ln|t|-\dfrac{2}{3}\ln|t+3|+C$

Deshacemos el cambio con $t=e^x$, que es siempre positivo:

$\int\dfrac{2}{3+e^x}\,dx=\dfrac{2}{3}\ln(e^x)-\dfrac{2}{3}\ln(e^x+3)+C=\dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{3}\ln(e^x+3)+C$

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{-x+1}{x^2+3}\,dx}\textbf{.}$

El denominador no tiene raíces reales, así que separamos la integral en dos: una de tipo logarítmico y otra de tipo arco tangente.

$\int\dfrac{-x+1}{x^2+3}\,dx=-\int\dfrac{x}{x^2+3}\,dx+\int\dfrac{1}{x^2+3}\,dx$

En la primera, el numerador es la mitad de la derivada del denominador:

$-\int\dfrac{x}{x^2+3}\,dx=-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^2+3}\,dx=-\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+3\right)$

En la segunda sacamos factor común el $3$ del denominador para dejarla en la forma del arco tangente:

$\int\dfrac{1}{x^2+3}\,dx=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)^2+1}\,dx=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan\dfrac{x}{\sqrt3}$

$\int\dfrac{-x+1}{x^2+3}\,dx=-\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+3\right)+\dfrac{\sqrt3}{3}\arctan\dfrac{x}{\sqrt3}+C$