Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + y + z = a + 1 \\ a \cdot x \phantom{{}+ y} + z = a - 1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a = 0$, si es posible.

$\textbf{a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{:}$

$\boldsymbol{\begin{cases} x + y + z = a + 1 \\ a \cdot x + z = a - 1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ a&0&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&a+1\\ a&0&1&a-1\\ 1&-1&1&3\end{pmatrix}$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\ a&0&1\\ 1&-1&1\end{vmatrix}=0+1-a-0+1-a=2-2a$

$2-2a=0\Rightarrow a=1$

Si $a\neq1$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado, con solución única.

Si $a=1$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}1&1&1&2\\ 1&0&1&0\\ 1&-1&1&3\end{pmatrix}$

El menor $\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0$ y $|A|=0$, de modo que $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&1&2\\1&0&0\\1&-1&3\end{vmatrix}=0+0-2-0+0-3=-5\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

Como $\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^*)$, el sistema es incompatible y no tiene solución.

En resumen: el sistema es compatible determinado para $a\neq1$ e incompatible para $a=1$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, si es posible.}$

Como $0\neq1$, sí es posible: el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases}x+y+z=1\\ z=-1\\ x-y+z=3\end{cases},\qquad |A|=2-2\cdot0=2$

La segunda ecuación da directamente $z=-1$. Lo sustituimos en las otras dos:

$\begin{cases}x+y=2\\ x-y=4\end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones, $2x=6\Rightarrow x=3$, y restándolas, $2y=-2\Rightarrow y=-1$.

La solución del sistema para $a=0$ es $x=3$, $y=-1$, $z=-1$.