Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) [1 punto] Sea el plano $\pi \equiv x - 3y + z = 0$ y los puntos $A = (0,\,0,\,-1)$ y $B = (1,\,1,\,1)$. Obtenga el plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $A$ y $B$.

b) [1,5 puntos] Calcule el área de la región delimitada por las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 5$ y $g(x) = 3 - x$.

$\textbf{a) [1 punto] Sea el plano } \boldsymbol{\pi \equiv x - 3y + z = 0}\textbf{ y los puntos } \boldsymbol{A = (0,\,0,\,-1)}\textbf{ y } \boldsymbol{B = (1,\,1,\,1)}\textbf{. Obtenga el plano perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que contiene a } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{.}$











El plano buscado, que llamamos $\sigma$, contiene la dirección $\overrightarrow{AB}$ y, por ser perpendicular a $\pi$, contiene también la dirección de $\vec n_{\pi}$. Su vector normal es entonces el producto vectorial de ambos.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,1)-(0,0,-1)=(1,1,2)$

$\vec n_{\pi}=(1,-3,1)$





$\vec n_{\sigma}=\vec n_{\pi}\times\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-3&1\\1&1&2\end{vmatrix}=(-7,-1,4)$

Cambiar el signo de un vector normal no altera el plano, así que trabajamos con $(7,1,-4)$:

$\sigma:7x+y-4z+D=0$

Imponemos que $A(0,0,-1)\in\sigma$:

$0+0+4+D=0\Rightarrow D=-4$

El plano pedido es $\sigma:7x+y-4z-4=0$. Se comprueba que también contiene a $B$: $7+1-4-4=0$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Calcule el área de la región delimitada por las funciones } \boldsymbol{f(x) = x^2 - 4x + 5}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x) = 3 - x}\textbf{.}$

Buscamos los puntos de corte de las dos curvas, que son los límites de integración.

$x^2-4x+5=3-x\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}$

Averiguamos cuál va por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=\frac{3}{2}$:

$g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{2}>f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-6+5=\dfrac{5}{4}$



El área es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo.

$A=\int_{1}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]dx=\int_{1}^{2}\left(-x^2+3x-2\right)dx$

$A=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}-2x\right]_{1}^{2}=\left(-\dfrac{8}{3}+6-4\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-2\right)$

$A=-\dfrac{8}{3}+2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{-16+12+2+3}{6}=\dfrac{1}{6}$

El área de la región delimitada por las dos curvas es $\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$ unidades cuadradas.