Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sea el punto $A = (1,\,0,\,1)$ y el plano $\pi \equiv x + y + z = 8$.

a) [1,5 puntos] Calcule la recta perpendicular a $\pi$ y que pasa por $A$. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?

b) [1 punto] Obtenga el punto de la recta anterior distinto de $A$ que dista de $\pi$ igual que $A$, es decir, el punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Calcule la recta perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?}$











Si la recta es perpendicular al plano, su vector director es el vector normal del plano, que se lee en los coeficientes de su ecuación.

$\vec v_r=\vec n_{\pi}=(1,1,1)$

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=\lambda\\ z=1+\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$





Para el punto de corte sustituimos las paramétricas de la recta en la ecuación del plano.

$(1+\lambda)+\lambda+(1+\lambda)=8\Rightarrow 2+3\lambda=8\Rightarrow \lambda=2$

Llevamos ese valor a las ecuaciones de la recta:

$R(1+2,\,2,\,1+2)=R(3,2,3)$

La recta perpendicular a $\pi$ por $A$ es $r:x-1=y=z-1$, y corta al plano en el punto $R(3,2,3)$.

$\textbf{b) [1 punto] Obtenga el punto de la recta anterior distinto de } \boldsymbol{A}\textbf{ que dista de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ igual que } \boldsymbol{A}\textbf{, es decir, el punto simétrico de } \boldsymbol{A}\textbf{ con respecto a } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Basta razonar que $R$, el pie de la perpendicular, es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$.

$R=\left(\dfrac{1+A'_x}{2},\,\dfrac{0+A'_y}{2},\,\dfrac{1+A'_z}{2}\right)=(3,2,3)$

$\begin{cases}\dfrac{1+A'_x}{2}=3\Rightarrow A'_x=5\\[4pt] \dfrac{A'_y}{2}=2\Rightarrow A'_y=4\\[4pt] \dfrac{1+A'_z}{2}=3\Rightarrow A'_z=5\end{cases}$

El punto simétrico de $A$ respecto del plano es $A'(5,4,5)$. Se comprueba que está en la recta, para $\lambda=4$, y que dista del plano lo mismo que $A$:

$d(A,\pi)=\dfrac{|1+0+1-8|}{\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3},\qquad d(A',\pi)=\dfrac{|5+4+5-8|}{\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3}$