Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1,5 puntos] Estudie la continuidad en $\mathbb{R}$ de la función

$f(x) = \left( 2e^{x^2-4} - 8x + 14 \right) / \left( x^2 - 2x \right)$

b) [1 punto] Sea el determinante

$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2,$

donde $x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c \in \mathbb{R}$. Calcule razonadamente (e indicando las propiedades de los determinantes que utiliza) el determinante de

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a-2 & b-4 & c-6 \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}$

$\textbf{a) [1,5 puntos] Estudie la continuidad en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{ de la función}$

$\boldsymbol{f(x) = \left( 2e^{x^2-4} - 8x + 14 \right) / \left( x^2 - 2x \right)}$

El numerador es continuo en todo $\mathbb{R}$ por ser suma de una exponencial y un polinomio, de modo que la función solo puede fallar donde se anule el denominador.

$x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}$

Estudiamos qué ocurre en cada uno de esos dos puntos.

En $x=0$ el numerador no se anula:

$2e^{-4}-0+14\approx14{,}04\neq0$

$\lim_{x\to0^-}f(x)=\dfrac{14{,}04}{0^+}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\dfrac{14{,}04}{0^-}=-\infty$

(el denominador $x(x-2)$ es positivo a la izquierda de $0$ y negativo a su derecha).

En $x=2$ el numerador sí se anula:

$2e^{0}-16+14=2-16+14=0$

Aparece entonces la indeterminación $\frac{0}{0}$ y aplicamos la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to2}\dfrac{2e^{x^2-4}-8x+14}{x^2-2x}\stackrel{\text{L'H}}{=}\lim_{x\to2}\dfrac{4x\,e^{x^2-4}-8}{2x-2}=\dfrac{8-8}{2}=0$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{0,2\}$. En $x=0$ presenta una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical, y en $x=2$ una discontinuidad evitable, que se salvaría definiendo $f(2)=0$.

$\textbf{b) [1 punto] Sea el determinante}$

$\boldsymbol{\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2,}$

$\textbf{donde } \boldsymbol{x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c \in \mathbb{R}}\textbf{. Calcule razonadamente (e indicando las propiedades de los determinantes que utiliza) el determinante de}$

$\boldsymbol{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a-2 & b-4 & c-6 \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}}$

Transformamos el segundo determinante en el primero, indicando en cada paso la propiedad que se usa.

i) Si todos los elementos de una fila se multiplican por un número, ese número sale fuera del determinante. La tercera fila está multiplicada por $2$:

$\begin{vmatrix}1&2&3\\ a-2&b-4&c-6\\ 2x&2y&2z\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&2&3\\ a-2&b-4&c-6\\ x&y&z\end{vmatrix}$

ii) Un determinante no cambia si a una fila se le suma un múltiplo de otra. La segunda fila es $(a,b,c)-2(1,2,3)$, es decir, la fila $(a,b,c)$ menos el doble de la primera:

$=2\begin{vmatrix}1&2&3\\ a&b&c\\ x&y&z\end{vmatrix}$

iii) Al intercambiar dos filas el determinante cambia de signo. Intercambiando la primera y la tercera recuperamos el determinante del enunciado:

$=2\left(-\begin{vmatrix}x&y&z\\ a&b&c\\ 1&2&3\end{vmatrix}\right)=2\cdot(-2)=-4$

El determinante pedido vale $-4$.