Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1,5 puntos] Encuentre razonadamente el valor de $a,\,b \in \mathbb{R}$ para que la función

$f(x) = \dfrac{ax + 1}{2x + b}$

tenga una discontinuidad de salto infinito en $x = 1$ y tienda a 2 cuando $x \longrightarrow +\infty$.

b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

$\displaystyle\int x \cdot \cos(2x)\,dx$

$\textbf{a) [1,5 puntos] Encuentre razonadamente el valor de } \boldsymbol{a,\,b \in \mathbb{R}}\textbf{ para que la función}$

$\boldsymbol{f(x) = \dfrac{ax + 1}{2x + b}}$

$\textbf{tenga una discontinuidad de salto infinito en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y tienda a 2 cuando } \boldsymbol{x \longrightarrow +\infty}\textbf{.}$

Cada condición determina un parámetro, así que las tratamos por separado.

i) Una función racional presenta una discontinuidad de salto infinito donde se anula el denominador sin anularse el numerador. Imponemos que eso ocurra en $x=1$:

$2\cdot1+b=0\Rightarrow b=-2$

ii) El límite en el infinito de un cociente de polinomios del mismo grado es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ax+1}{2x-2}=\dfrac{a}{2}=2\Rightarrow a=4$

Comprobamos que con esos valores el numerador no se anula en $x=1$, que es lo que garantiza que el salto sea realmente infinito:

$4\cdot1+1=5\neq0$

Los valores pedidos son $a=4$ y $b=-2$, es decir, $f(x)=\dfrac{4x+1}{2x-2}$, que tiene una asíntota vertical en $x=1$ y otra horizontal en $y=2$.

$\textbf{b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:}$

$\boldsymbol{\displaystyle\int x \cdot \cos(2x)\,dx}$

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que integramos por partes derivando el polinomio.

$\begin{cases}u=x & du=dx\\ dv=\cos(2x)\,dx & v=\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)\end{cases}$

$\int x\cos(2x)\,dx=\dfrac{x}{2}\operatorname{sen}(2x)-\dfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\,dx$

$=\dfrac{x}{2}\operatorname{sen}(2x)-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\right)+C$

$\int x\cos(2x)\,dx=\dfrac{x}{2}\operatorname{sen}(2x)+\dfrac{1}{4}\cos(2x)+C$