Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = a + 1 \\ ax \phantom{{}+ 2y} + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a = 1$, si es posible.

$\textbf{a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{:}$

$\boldsymbol{\begin{cases} x + 2y + 3z = a + 1 \\ ax + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ a&0&1\\ 1&1&2\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}1&2&3&a+1\\ a&0&1&0\\ 1&1&2&1\end{pmatrix}$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}1&2&3\\ a&0&1\\ 1&1&2\end{vmatrix}=0+2+3a-0-1-4a=1-a$

$1-a=0\Rightarrow a=1$

Si $a\neq1$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado, con solución única.

Si $a=1$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}1&2&3&2\\ 1&0&1&0\\ 1&1&2&1\end{pmatrix}$

El menor $\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=-2\neq0$ y $|A|=0$, de modo que $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&2&2\\1&0&0\\1&1&1\end{vmatrix}=0+0+2-0-0-2=0$

Ese es el único menor de orden $3$ de $A^*$ que quedaba por estudiar, y también se anula, así que $\operatorname{ran}(A^*)=2$.

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{, si es posible.}$

Sí es posible: por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo —la primera y la segunda— y pasamos $z$ al segundo miembro como parámetro.

$\begin{cases}x+2y=2-3\lambda\\ x=-\lambda\end{cases},\qquad z=\lambda$

De la segunda ecuación, $x=-\lambda$. Sustituyendo en la primera:

$-\lambda+2y=2-3\lambda\Rightarrow 2y=2-2\lambda\Rightarrow y=1-\lambda$

La solución del sistema para $a=1$ es

$\begin{cases}x=-\lambda\\ y=1-\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que no habíamos usado: $-\lambda+1-\lambda+2\lambda=1$.