Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

a) [1 punto] Exprese razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos $\pi_1 \equiv x = y + 1$ y $\pi_2 \equiv y + 2z = 5$.

b) [1,5 puntos] Enuncie el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentre razonadamente el punto al que hace alusión dicho teorema para la función $f(x) = 3/x^2$ en el intervalo $[1,\,3]$. Interprete geométricamente lo hallado.

$\textbf{a) [1 punto] Exprese razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos } \boldsymbol{\pi_1 \equiv x = y + 1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2 \equiv y + 2z = 5}\textbf{.}$











La recta intersección tiene por vector director el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos, que se leen en sus ecuaciones generales.

$\pi_1:x-y=1\Rightarrow \vec n_1=(1,-1,0)$

$\pi_2:y+2z=5\Rightarrow \vec n_2=(0,1,2)$

$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix}=(-2,-2,1)$





Nos falta un punto de la recta. Damos un valor cualquiera a una incógnita en el sistema formado por los dos planos; por ejemplo $z=0$:

$\begin{cases}x-y=1\\ y=5\end{cases}\Rightarrow y=5,\ x=6\Rightarrow P(6,5,0)$

Con el punto y el vector director escribimos las ecuaciones paramétricas.

$r:\begin{cases}x=6-2\lambda\\ y=5-2\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) [1,5 puntos] Enuncie el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentre razonadamente el punto al que hace alusión dicho teorema para la función } \boldsymbol{f(x) = 3/x^2}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{[1,\,3]}\textbf{. Interprete geométricamente lo hallado.}$

Enunciado del teorema: si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces existe al menos un punto $c\in(a,b)$ tal que

$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)\,(b-a)$

Comprobamos la hipótesis: $f(x)=\frac{3}{x^2}$ solo deja de ser continua en $x=0$, que no pertenece a $[1,3]$, así que es continua en el intervalo y el teorema es aplicable.

Calculamos la integral definida.

$\int_{1}^{3}\dfrac{3}{x^2}\,dx=\left[-\dfrac{3}{x}\right]_{1}^{3}=-1+3=2$

Imponemos la igualdad del teorema con $b-a=2$.

$2=f(c)\cdot2\Rightarrow f(c)=1\Rightarrow \dfrac{3}{c^2}=1\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\pm\sqrt3$

Se descarta $c=-\sqrt3$ por no pertenecer al intervalo $(1,3)$, y queda $c=\sqrt3\approx1{,}7321$.

Interpretación geométrica: el área encerrada bajo la curva entre $x=1$ y $x=3$, que vale $2$ unidades cuadradas, coincide con la del rectángulo de base ese mismo intervalo y altura $f(\sqrt3)=1$. Dicho de otro modo, $f(\sqrt3)=1$ es el valor medio de la función en $[1,3]$.