Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sean las rectas

$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = -\lambda \\ z = a \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x = -1 \\ y = \mu \\ z = -5\mu \end{cases}$

donde $\lambda$ y $\mu$ son los parámetros y $a \in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] Estudie su posición relativa en función de los valores que toma $a$.

b) [1 punto] Encuentre razonadamente un plano que contenga a $s$ y que sea paralelo a $r$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Estudie su posición relativa en función de los valores que toma } \boldsymbol{a}\textbf{.}$











Leemos en las ecuaciones paramétricas un punto y un vector director de cada recta.

$P(0,0,a),\quad \vec v_r=(2,-1,0)$

$Q(-1,0,0),\quad \vec v_s=(0,1,-5)$

Los vectores directores no son proporcionales, ya que la tercera coordenada de $\vec v_r$ es nula y la de $\vec v_s$ no: las rectas no son ni paralelas ni coincidentes.





Para distinguir entre secantes y que se cruzan calculamos el producto mixto de los dos vectores directores con el que une los dos puntos.

$\overrightarrow{PQ}=(-1,0,0)-(0,0,a)=(-1,0,-a)$

$\left[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{PQ}\right]=\begin{vmatrix}2&-1&0\\0&1&-5\\-1&0&-a\end{vmatrix}=-2a+0-5-0-0-0=-2a-5$

$-2a-5=0\Rightarrow a=-\dfrac{5}{2}$

Si $a=-\frac{5}{2}$ el producto mixto es nulo, luego los tres vectores son coplanarios y, al no ser paralelas, las rectas son secantes: se cortan en un punto.

Si $a\neq-\frac{5}{2}$ el producto mixto no es nulo, los tres vectores no son coplanarios y las rectas se cruzan.

$\textbf{b) [1 punto] Encuentre razonadamente un plano que contenga a } \boldsymbol{s}\textbf{ y que sea paralelo a } \boldsymbol{r}\textbf{.}$

Un plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ queda determinado por un punto de $s$ y los dos vectores directores.

$\vec n_{\pi}=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-1&0\\0&1&-5\end{vmatrix}=(5,10,2)$

$\pi:5x+10y+2z+D=0$

Imponemos que $Q(-1,0,0)\in\pi$, que es el punto de $s$:

$5\cdot(-1)+0+0+D=0\Rightarrow D=5$

$\pi:5x+10y+2z+5=0$

El plano pedido es $\pi:5x+10y+2z+5=0$. Contiene a $s$ y es paralelo a $r$ para todo $a\neq-\frac{5}{2}$; en el caso $a=-\frac{5}{2}$, en el que las rectas se cortan, el plano contiene también a $r$.