Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Sea la curva $f(x) = a - x^2$.

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué valores puede tomar $a \in \mathbb{R}$ para que la curva $f(x) = a - x^2$ corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?

a.2) [1 punto] Encuentre razonadamente $a \in \mathbb{R}$ para que el área de dicho recinto valga 36.

b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

$\displaystyle\int \dfrac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}\,dx$

El cambio de variable $t = 1 + 3x^2$ le puede ayudar.

$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿Qué valores puede tomar } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que la curva } \boldsymbol{f(x) = a - x^2}\textbf{ corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?}$

Los cortes con el eje de abscisas son las soluciones de $f(x)=0$.

$a-x^2=0\Rightarrow x^2=a\Rightarrow x=\pm\sqrt{a}$

Para que haya dos puntos de corte distintos hace falta que la raíz exista y no sea nula.

$a>0$

La curva corta al eje de abscisas en dos puntos, $(-\sqrt a,0)$ y $(\sqrt a,0)$, exactamente cuando $a>0$. Es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,a)$, de modo que en ese caso encierra con el eje un recinto cerrado.

$\textbf{a.2) [1 punto] Encuentre razonadamente } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que el área de dicho recinto valga 36.}$

Entre $-\sqrt a$ y $\sqrt a$ la parábola queda por encima del eje, así que el área es directamente la integral definida.

$A=\int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}\left(a-x^2\right)dx=\left[ax-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-\sqrt a}^{\sqrt a}$

$A=\left(a\sqrt a-\dfrac{a\sqrt a}{3}\right)-\left(-a\sqrt a+\dfrac{a\sqrt a}{3}\right)=\dfrac{4a\sqrt a}{3}$

Imponemos que valga $36$.

$\dfrac{4a\sqrt a}{3}=36\Rightarrow a\sqrt a=27\Rightarrow a^{3/2}=27\Rightarrow a=27^{2/3}=9$



El valor buscado es $a=9$, que además cumple la condición $a>0$ del apartado anterior.

$\textbf{b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:}$

$\boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}\,dx}$

Aplicamos el cambio de variable sugerido, que convierte el integrando en una potencia.

$t=1+3x^2\Rightarrow dt=6x\,dx\Rightarrow x\,dx=\dfrac{dt}{6}$

$\int\dfrac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}\,dx=\int\dfrac{2}{\sqrt t}\cdot\dfrac{dt}{6}=\dfrac{1}{3}\int t^{-1/2}\,dt$

$=\dfrac{1}{3}\cdot 2\sqrt t+C=\dfrac{2\sqrt t}{3}+C$

Deshacemos el cambio:

$\int\dfrac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}\,dx=\dfrac{2\sqrt{1+3x^2}}{3}+C$