Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,5 puntos] Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?

b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x+1}{x} \right)^{\frac{x^2+1}{x}}$

$\textbf{a) [1,5 puntos] Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?}$

Llamamos $x$ al precio del lápiz, $y$ al del cuaderno y $z$ al de la agenda, en euros. Los dos datos dan un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

$\begin{cases}3x+y+z=5\\ 2y+z=5\end{cases}$

$A=\begin{pmatrix}3&1&1\\0&2&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq0$

Luego $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3$: el sistema es compatible indeterminado y, como sistema, tiene infinitas soluciones. Las obtenemos tomando $z$ como parámetro.

$2y+z=5\Rightarrow y=\dfrac{5-z}{2}$

$3x+\dfrac{5-z}{2}+z=5\Rightarrow 3x=5-\dfrac{5-z}{2}-z=\dfrac{10-5+z-2z}{2}=\dfrac{5-z}{2}\Rightarrow x=\dfrac{5-z}{6}$

Aquí entran las condiciones del enunciado, que son las que reducen las infinitas soluciones a una sola: los tres precios han de ser positivos y múltiplos de $0{,}50\ \text{€}$.

Como $x=\frac{5-z}{6}>0$ y ha de ser múltiplo de $0{,}5$, el menor valor posible es $x=0{,}5$, que da $5-z=3$, es decir, $z=2$. El siguiente, $x=1$, exigiría $5-z=6$, o sea $z=-1<0$, imposible. No hay más casos.

$x=0{,}5\Rightarrow z=2\Rightarrow y=\dfrac{5-2}{2}=1{,}5$

Sí podemos: el lápiz cuesta $0{,}50\ \text{€}$, el cuaderno $1{,}50\ \text{€}$ y la agenda $2\ \text{€}$. Se comprueba que $3\cdot0{,}5+1{,}5+2=5$ y $2\cdot1{,}5+2=5$.

$\textbf{b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite:}$

$\boldsymbol{\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x+1}{x} \right)^{\frac{x^2+1}{x}}}$

La base tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$, de modo que estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Aplicamos la regla correspondiente al número $e$:

$\lim\left[f(x)\right]^{g(x)}=e^{\lim g(x)\left[f(x)-1\right]}$

$\dfrac{x+1}{x}-1=\dfrac{x+1-x}{x}=\dfrac{1}{x}$

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+1}{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$

$\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^{\frac{x^2+1}{x}}=e^{1}=e$

El límite vale $e\approx2{,}7183$.