Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Calcule el límite siguiente:

$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9}$

b) [1,5 puntos] Sean el punto $A(1,\,2,\,1)$ y el plano $\pi \equiv x - y = 1$. Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule el límite siguiente:}$

$\boldsymbol{\lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9}}$

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, lo que indica que $x=3$ es raíz del numerador y del denominador. Factorizamos ambos para simplificar el factor común.

$x^3-3x^2+3x-9=x^2(x-3)+3(x-3)=(x-3)(x^2+3)$

$3x-9=3(x-3)$

$\lim_{x\to3}\dfrac{(x-3)(x^2+3)}{3(x-3)}=\lim_{x\to3}\dfrac{x^2+3}{3}$

$=\dfrac{9+3}{3}=\dfrac{12}{3}=4$

El límite vale $4$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sean el punto } \boldsymbol{A(1,\,2,\,1)}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi \equiv x - y = 1}\textbf{. Calcule la distancia del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$











Escribimos el plano en forma general y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, que mide el segmento perpendicular desde $A$ hasta el plano.

$\pi:x-y-1=0$

$d(A,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$





Sustituimos las coordenadas de $A(1,2,1)$ y los coeficientes del plano, teniendo en cuenta que el coeficiente de $z$ es nulo.

$d(A,\pi)=\dfrac{|1\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot1-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}=\dfrac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}$

Racionalizamos el denominador:

$d(A,\pi)=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx1{,}4142$

La distancia del punto $A$ al plano $\pi$ es $\sqrt{2}\approx1{,}4142$ unidades de longitud.