Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Encuentre el área encerrada por la recta $x = -1$ y las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 2x + 3$ y $g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$.

b) [1,5 puntos] Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & a \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & a+1 & a+1 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$. Estudie el rango de $A$ en función de los valores de $a$.

$\textbf{a) [1 punto] Encuentre el área encerrada por la recta } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ y las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f(x) = x^2 - 2x + 3}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1}\textbf{.}$

Buscamos primero los puntos de corte de las dos parábolas, que son los que cierran el recinto por la derecha.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x^2-2x+3=\dfrac{1}{2}x^2+1\Rightarrow \dfrac{1}{2}x^2-2x+2=0$

$x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2)^2=0\Rightarrow x=2\ \text{(doble)}$

Las dos curvas se tocan en un único punto, $x=2$, de modo que por sí solas no encierran ningún recinto: es la recta $x=-1$ la que lo cierra por la izquierda.

Averiguamos cuál va por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$:

$f(0)=3>g(0)=1$



El área es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo, entre $-1$ y $2$.

$A=\int_{-1}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_{-1}^{2}\left(\dfrac{1}{2}x^2-2x+2\right)dx$

$A=\left[\dfrac{x^3}{6}-x^2+2x\right]_{-1}^{2}=\left(\dfrac{8}{6}-4+4\right)-\left(-\dfrac{1}{6}-1-2\right)$

$A=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{6}+3=\dfrac{8+1+18}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$

El área encerrada es $\dfrac{9}{2}=4{,}5$ unidades cuadradas.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Sea la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & a \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & a+1 & a+1 \end{pmatrix}}\textbf{ con } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. Estudie el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ en función de los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

La matriz es cuadrada de orden $3$, así que su rango es $3$ salvo que el determinante se anule. Lo desarrollamos por la segunda fila, que es la que más ceros tiene.

$|A|=\begin{vmatrix}-2&1&a\\-1&0&0\\-1&a+1&a+1\end{vmatrix}=-(-1)\begin{vmatrix}1&a\\a+1&a+1\end{vmatrix}=(a+1)-a(a+1)$

$|A|=(a+1)(1-a)$

$(a+1)(1-a)=0\Rightarrow\begin{cases}a=-1\\a=1\end{cases}$

Si $a\neq-1$ y $a\neq1$, entonces $|A|\neq0$ y $\operatorname{ran}(A)=3$.

Si $a=1$, la matriz queda

$A=\begin{pmatrix}-2&1&1\\-1&0&0\\-1&2&2\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}-2&1\\-1&0\end{vmatrix}=0+1=1\neq0$

luego $\operatorname{ran}(A)=2$.

Si $a=-1$, la matriz queda

$A=\begin{pmatrix}-2&1&-1\\-1&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}-2&1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq0$

y de nuevo $\operatorname{ran}(A)=2$; aquí se ve además a simple vista, porque las filas segunda y tercera son iguales.

El rango de $A$ es $3$ para $a\neq\pm1$ y $2$ para $a=1$ y para $a=-1$.