Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean el plano $\pi \equiv a \cdot x + y - z = 1$, con $a \in \mathbb{R}$, y los puntos $A(1,\,0,\,0)$ y $B(b,\,1,\,-1)$, con $b \in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] Determine el valor de $a$, $b$ para que el vector $\vec{AB}$ sea perpendicular al plano $\pi$ y el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$.

b) [1 punto] Con los valores de $a$, $b$ obtenidos en el apartado anterior, escriba la ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano $\pi$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Determine el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ para que el vector } \boldsymbol{\vec{AB}}\textbf{ sea perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ esté contenido en el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$











Empezamos por la condición que solo afecta a un parámetro. Que $A(1,0,0)$ pertenezca al plano significa que sus coordenadas verifican su ecuación.

$a\cdot1+0-0=1\Rightarrow a=1$

Con ello el vector normal del plano queda determinado:

$\vec n_{\pi}=(a,1,-1)=(1,1,-1)$





Que $\overrightarrow{AB}$ sea perpendicular al plano equivale a que sea paralelo al vector normal, es decir, a que sus coordenadas sean proporcionales.

$\overrightarrow{AB}=(b,1,-1)-(1,0,0)=(b-1,1,-1)$

$\dfrac{b-1}{1}=\dfrac{1}{1}=\dfrac{-1}{-1}\Rightarrow b-1=1\Rightarrow b=2$

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=2$. Con ellos $\pi:x+y-z=1$, $B(2,1,-1)$ y $\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)=\vec n_{\pi}$.

$\textbf{b) [1 punto] Con los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ obtenidos en el apartado anterior, escriba la ecuación de la recta que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

La recta perpendicular al plano por $A$ tiene como vector director el vector normal del plano, que es precisamente $\overrightarrow{AB}$.

$\vec v_r=\vec n_{\pi}=(1,1,-1)$

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=\lambda\\ z=-\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Despejando el parámetro obtenemos su ecuación continua:

$r:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-1}$

La recta pedida es $r:x-1=y=-z$, y contiene también al punto $B$, como era de esperar.