Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados $h,\,r \in \mathbb{R}$, de manera que el radio del semicírculo es $h/2$. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de longitud, que ha de ser el perímetro del aparcamiento. La empresa desea construir un aparcamiento con el mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.



a) [1 punto] Escriba el área del aparcamiento en función del valor $h$.

b) [1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer $h$ y $r$ para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?

$\textbf{a) [1 punto] Escriba el área del aparcamiento en función del valor } \boldsymbol{h}\textbf{.}$

La región es un rectángulo de lados $h$ y $r$ al que se le añade un semicírculo de radio $h/2$ apoyado en uno de los lados de longitud $h$. El área es la suma de las dos piezas.

$A=r\,h+\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{h}{2}\right)^2=r\,h+\dfrac{\pi h^2}{8}$

La valla recorre los dos lados de longitud $r$, el lado de longitud $h$ opuesto al semicírculo y la propia semicircunferencia, cuya longitud es $\pi\cdot\frac{h}{2}$. Ese es el dato que relaciona $r$ y $h$.

$2r+h+\dfrac{\pi h}{2}=80\Rightarrow r=40-\dfrac{h}{2}-\dfrac{\pi h}{4}$

Sustituimos en la expresión del área.

$A(h)=h\left(40-\dfrac{h}{2}-\dfrac{\pi h}{4}\right)+\dfrac{\pi h^2}{8}=40h-\dfrac{h^2}{2}-\dfrac{\pi h^2}{4}+\dfrac{\pi h^2}{8}$

$A(h)=40h-\dfrac{h^2}{2}-\dfrac{\pi h^2}{8},\qquad 0<h<\dfrac{160}{2+\pi}$

La cota superior del dominio sale de exigir $r>0$. El área del aparcamiento en función de $h$ es $A(h)=40h-\dfrac{h^2}{2}-\dfrac{\pi h^2}{8}\ \text{m}^2$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer } \boldsymbol{h}\textbf{ y } \boldsymbol{r}\textbf{ para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?}$

Buscamos el máximo de $A(h)$ anulando su derivada primera.

$A'(h)=40-h-\dfrac{\pi h}{4}$

$A'(h)=0\Rightarrow 40=h\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right)=h\cdot\dfrac{4+\pi}{4}\Rightarrow h=\dfrac{160}{4+\pi}$

Comprobamos con la derivada segunda que se trata de un máximo.

$A''(h)=-1-\dfrac{\pi}{4}<0\ \ \forall h$

La derivada segunda es negativa en todo el dominio, así que la función es cóncava y el único extremo es el máximo absoluto. Calculamos ahora $r$.

$r=40-\dfrac{h}{2}-\dfrac{\pi h}{4}=40-h\cdot\dfrac{2+\pi}{4}=40-\dfrac{160}{4+\pi}\cdot\dfrac{2+\pi}{4}=40\cdot\dfrac{4+\pi-2-\pi}{4+\pi}=\dfrac{80}{4+\pi}$

El área es máxima cuando $h=\dfrac{160}{4+\pi}\approx22{,}40\ \text{m}$ y $r=\dfrac{80}{4+\pi}\approx11{,}20\ \text{m}$, es decir, cuando el lado $h$ es exactamente el doble que el lado $r$. El área que se consigue es $A=\dfrac{3200}{4+\pi}\approx448{,}08\ \text{m}^2$.