Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} -2x + y - z = -1 \\ -x + a \cdot y + z = 2 \\ 2x + y + a \cdot z = 3 \end{cases}$, con $a \in \mathbb{R}$.

a) [1,75 puntos] Discuta cómo es el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

$\textbf{a) [1,75 puntos] Discuta cómo es el sistema en función de los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}-2&1&-1\\-1&a&1\\2&1&a\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}-2&1&-1&-1\\-1&a&1&2\\2&1&a&3\end{pmatrix}$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}-2&1&-1\\-1&a&1\\2&1&a\end{vmatrix}=-2a^2+2+1+2a-1+2a+2=-2a^2+3a+5$

$-2a^2+3a+5=0\Rightarrow 2a^2-3a-5=0\Rightarrow a=\dfrac{3\pm\sqrt{9+40}}{4}=\dfrac{3\pm7}{4}\Rightarrow\begin{cases}a=\dfrac{5}{2}\\[4pt]a=-1\end{cases}$

Si $a\neq-1$ y $a\neq\frac{5}{2}$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado, con solución única.

Si $a=-1$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}-2&1&-1&-1\\-1&-1&1&2\\2&1&-1&3\end{pmatrix}$

El menor $\begin{vmatrix}-2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=2+1=3\neq0$ y $|A|=0$, de modo que $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlando ese menor con la columna de términos independientes,

$\begin{vmatrix}-2&1&-1\\-1&-1&2\\2&1&3\end{vmatrix}=6+4+1-2+4+3=16\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

Como $2\neq3$, el sistema es incompatible.

Si $a=\frac{5}{2}$, procedemos igual. El menor $\begin{vmatrix}-2&1\\-1&\frac{5}{2}\end{vmatrix}=-5+1=-4\neq0$ da $\operatorname{ran}(A)=2$, y orlándolo con los términos independientes,

$\begin{vmatrix}-2&1&-1\\-1&\frac{5}{2}&2\\2&1&3\end{vmatrix}=-15+4+1+5+4+3=2\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

y el sistema vuelve a ser incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para $a\neq-1$ y $a\neq\frac{5}{2}$, e incompatible para $a=-1$ y para $a=\frac{5}{2}$. Nunca es compatible indeterminado.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, si es posible.}$

Como $2\neq-1$ y $2\neq\frac{5}{2}$, sí es posible: el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases}-2x+y-z=-1\\ -x+2y+z=2\\ 2x+y+2z=3\end{cases},\qquad |A|=-2\cdot2^2+3\cdot2+5=3$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&2&1\\3&1&2\end{vmatrix}}{3}=\dfrac{-4+3-2+6+1-4}{3}=\dfrac{0}{3}=0$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}-2&-1&-1\\-1&2&1\\2&3&2\end{vmatrix}}{3}=\dfrac{-8-2+3+4+6-2}{3}=\dfrac{1}{3}$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix}-2&1&-1\\-1&2&2\\2&1&3\end{vmatrix}}{3}=\dfrac{-12+4+1+4+4+3}{3}=\dfrac{4}{3}$

La solución para $a=2$ es $x=0$, $y=\dfrac{1}{3}$, $z=\dfrac{4}{3}$.