Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Calcule el siguiente límite:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{5x+1}{5x} \right)^{x^2}$

b) [1,5 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2,\,1,\,3)$ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (2,\,2,\,0)$ y $\vec{v} = (0,\,0,\,-1)$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule el siguiente límite:}$

$\boldsymbol{\lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{5x+1}{5x} \right)^{x^2}}$

La base tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$, de modo que estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Aplicamos la regla correspondiente al número $e$:

$\lim\left[f(x)\right]^{g(x)}=e^{\lim g(x)\left[f(x)-1\right]}$

Calculamos primero el exponente del límite.

$\dfrac{5x+1}{5x}-1=\dfrac{5x+1-5x}{5x}=\dfrac{1}{5x}$

$\lim_{x\to+\infty}x^2\cdot\dfrac{1}{5x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{5}=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{5x+1}{5x}\right)^{x^2}=e^{+\infty}=+\infty$

El límite vale $+\infty$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto } \boldsymbol{A(2,\,1,\,3)}\textbf{ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (2,\,2,\,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (0,\,0,\,-1)}\textbf{.}$

Un vector perpendicular a la vez a $\vec u$ y a $\vec v$ es su producto vectorial, y ese será el vector director de la recta.

$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&2&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=(-2,2,0)$

Los vectores directores se pueden simplificar dividiendo por un número no nulo, así que tomamos $\vec w=(-1,1,0)$.

$r:\begin{cases}x=2-\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=3\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Eliminando el parámetro entre las dos primeras ecuaciones obtenemos su forma implícita:

$r:\begin{cases}x+y=3\\ z=3\end{cases}$

La recta pedida pasa por $A(2,1,3)$, tiene vector director $(-1,1,0)$ y es horizontal, ya que su tercera coordenada es constante.