Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean el punto $A(1,\,1,\,a)$ y el plano $\pi \equiv b \cdot x + y + z = 1$, con $a,\,b \in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] ¿Qué deben cumplir los valores $a$, $b$ para que el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$ y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector $\vec{u} = (1,\,2,\,0)$?

b) [1 punto] Con los valores de $a$, $b$ del apartado anterior, obtenga la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $A$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] ¿Qué deben cumplir los valores } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ para que el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ esté contenido en el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector } \boldsymbol{\vec{u} = (1,\,2,\,0)}\textbf{?}$

El enunciado impone dos condiciones independientes, y cada una determina un parámetro.

i) El vector normal del plano se lee en los coeficientes de su ecuación general:

$\vec n_{\pi}=(b,1,1)$

Que sea perpendicular a $\vec u$ equivale a que su producto escalar se anule:

$\vec n_{\pi}\cdot\vec u=b\cdot1+1\cdot2+1\cdot0=b+2=0\Rightarrow b=-2$

ii) Que el punto $A(1,1,a)$ pertenezca al plano significa que sus coordenadas verifican la ecuación. Con $b=-2$:

$-2\cdot1+1+a=1\Rightarrow -1+a=1\Rightarrow a=2$

Deben cumplirse $a=2$ y $b=-2$; con ellos el punto es $A(1,1,2)$ y el plano $\pi:-2x+y+z=1$.

$\textbf{b) [1 punto] Con los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ del apartado anterior, obtenga la ecuación de la recta perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pasa por el punto } \boldsymbol{A}\textbf{.}$











Si la recta es perpendicular al plano, su vector director es el vector normal del plano, que ya conocemos.

$\vec v_s=\vec n_{\pi}=(-2,1,1)$

Con el punto $A(1,1,2)$ y ese vector director:

$s:\begin{cases}x=1-2\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=2+\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$





Despejando el parámetro obtenemos su ecuación continua:

$s:\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$

La recta perpendicular a $\pi$ por $A$ es $s:\dfrac{x-1}{-2}=y-1=z-2$.