Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [0,5 puntos] Enuncie el teorema de Bolzano.

b) [1 punto] Sea la función $f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10$. Utilice el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo $[0,\,2]$.

c) [1 punto] ¿Podría $f(x)$ tener más de una raíz en el intervalo $[0,\,2]$? Justifique su respuesta.

$\textbf{a) [0,5 puntos] Enuncie el teorema de Bolzano.}$

Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y toma valores de signo contrario en sus extremos, es decir, $f(a)\cdot f(b)<0$, entonces existe al menos un punto $c\in(a,b)$ en el que la función se anula: $f(c)=0$.

$\textbf{b) [1 punto] Sea la función } \boldsymbol{f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10}\textbf{. Utilice el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo } \boldsymbol{[0,\,2]}\textbf{.}$

Comprobamos las dos hipótesis del teorema.

i) $f$ es una función polinómica, y las funciones polinómicas son continuas en todo $\mathbb{R}$; en particular lo son en $[0,2]$.

ii) Evaluamos la función en los extremos del intervalo:

$f(0)=0+0+0-10=-10<0$

$f(2)=8+24+6-10=28>0$

$f(0)\cdot f(2)=-10\cdot28=-280<0$

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, luego existe al menos un punto $c\in(0,2)$ con $f(c)=0$: la función tiene al menos una raíz en ese intervalo.

$\textbf{c) [1 punto] ¿Podría } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tener más de una raíz en el intervalo } \boldsymbol{[0,\,2]}\textbf{? Justifique su respuesta.}$

El teorema de Bolzano garantiza una raíz, pero no dice cuántas. Para saber si es única estudiamos la monotonía, porque una función estrictamente creciente no puede cortar dos veces al eje.

$f'(x)=3x^2+12x+3$

$3x^2+12x+3=0\Rightarrow x^2+4x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}=-2\pm\sqrt{3}$



Los dos puntos críticos, $-2-\sqrt3\approx-3{,}7321$ y $-2+\sqrt3\approx-0{,}2679$, quedan fuera de $[0,2]$, de modo que en todo el intervalo la derivada mantiene el signo que tiene, por ejemplo, en $x=0$:

$f'(0)=3>0$

No, no podría. Al ser $f'(x)>0$ en todo $[0,2]$, la función es estrictamente creciente en ese intervalo y solo puede cortar una vez al eje de abscisas: la raíz es única (de hecho es $x=1$, pues $f(1)=1+6+3-10=0$).