Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule el volumen de la región generada al girar la función $f(x) = x$ entre los puntos $x = 2$ y $x = 3$ con respecto al eje X.

b) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de los siguientes planos: $\pi_1 \equiv x + y = 1$; $\pi_2 \equiv x + y + z = 2$; $\pi_3 \equiv z = 0$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule el volumen de la región generada al girar la función } \boldsymbol{f(x) = x}\textbf{ entre los puntos } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 3}\textbf{ con respecto al eje X.}$

Al girar alrededor del eje $OX$, cada sección perpendicular al eje es un círculo de radio $f(x)$, y el volumen se obtiene sumando esos discos con la integral correspondiente.

$V=\pi\int_{a}^{b}\left[f(x)\right]^2dx=\pi\int_{2}^{3}x^2\,dx$

$V=\pi\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{2}^{3}=\pi\left(\dfrac{27}{3}-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{19\pi}{3}$



El cuerpo engendrado es un tronco de cono de radios $2$ y $3$, y su volumen es $\dfrac{19\pi}{3}\approx19{,}8968$ unidades cúbicas.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de los siguientes planos: } \boldsymbol{\pi_1 \equiv x + y = 1}\textbf{; } \boldsymbol{\pi_2 \equiv x + y + z = 2}\textbf{; } \boldsymbol{\pi_3 \equiv z = 0}\textbf{.}$

La posición relativa de tres planos se decide comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada del sistema que forman.

$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&1&1&2\\0&0&1&0\end{pmatrix}$

$|A|=\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0$

Como el menor $\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0$, se tiene $\operatorname{ran}(A)=2$. En la ampliada, orlando con la columna de términos independientes,

$\begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&2\\0&1&0\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=-(2-1)=-1\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^*)\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Los tres planos no tienen ningún punto en común. Falta ver si es porque hay planos paralelos: los vectores normales son $\vec n_1=(1,1,0)$, $\vec n_2=(1,1,1)$ y $\vec n_3=(0,0,1)$, y ninguno es proporcional a otro, de modo que los planos se cortan dos a dos.



Los tres planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas y no tienen ningún punto común: forman una superficie prismática.