Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se quiere instalar un toldo que pase por el punto de coordenadas $A(2,1,1)$ y que sea perpendicular a una barra metálica de ecuación $r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x \phantom{{}- y} - z = 1 \end{cases}$.

a) [1,25 puntos] Determine la ecuación del plano que define el toldo.

b) [1,25 puntos] Si se quiere colocar un foco en el punto de coordenadas $F(2,-2,1)$, ¿a qué distancia se encuentra del plano que define el toldo?

$\textbf{a) [1,25 puntos] Determine la ecuación del plano que define el toldo.}$











Si el toldo es perpendicular a la barra, un vector normal del plano es un vector director de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es el producto vectorial de los dos vectores normales.

$\vec n_1=(2,-1,1),\qquad \vec n_2=(1,0,-1)$

$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&-1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}=(1,3,1)$





Del plano $\pi$ conocemos ya el punto $A(2,1,1)$ y el vector normal $\vec n_{\pi}=\vec v_r=(1,3,1)$, así que su ecuación es de la forma

$\pi:x+3y+z+D=0$

Imponemos que $A$ pertenezca al plano para hallar $D$.

$2+3\cdot1+1+D=0\Rightarrow 6+D=0\Rightarrow D=-6$

El plano que define el toldo es $\pi:x+3y+z-6=0$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Si se quiere colocar un foco en el punto de coordenadas } \boldsymbol{F(2,-2,1)}\textbf{, ¿a qué distancia se encuentra del plano que define el toldo?}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(F,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(F,\pi)=\dfrac{|2+3\cdot(-2)+1-6|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\dfrac{|2-6+1-6|}{\sqrt{11}}=\dfrac{9}{\sqrt{11}}$

Racionalizamos el denominador:

$d(F,\pi)=\dfrac{9\sqrt{11}}{11}\approx2{,}7136$

El foco se encuentra a $\dfrac{9\sqrt{11}}{11}\approx2{,}7136$ unidades de longitud del plano del toldo.