Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & x < 3 \\ \dfrac{2x}{x-4} & x \geq 3 \end{cases}$.

a) [1,5 puntos] Estudie la continuidad de la función y, en caso de existir, indique y clasifique el tipo de discontinuidades.

b) [1 punto] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Estudie la continuidad de la función y, en caso de existir, indique y clasifique el tipo de discontinuidades.}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es un polinomio y la segunda una función racional, que solo falla donde se anula su denominador.

$x-4=0\Rightarrow x=4$

Como $4$ pertenece al tramo $x\geq3$, el dominio de la función es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{4\}$, y los únicos puntos donde puede fallar la continuidad son $x=3$ (el empalme de las dos ramas) y $x=4$.

En $x=3$ calculamos los límites laterales:

$\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}\left(x^2+2x+1\right)=9+6+1=16$

$\lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}\dfrac{2x}{x-4}=\dfrac{6}{-1}=-6$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego no existe $\lim_{x\to3}f(x)$.

En $x=4$ el denominador se anula sin anularse el numerador:

$\lim_{x\to4^-}\dfrac{2x}{x-4}=\dfrac{8}{0^-}=-\infty,\qquad \lim_{x\to4^+}\dfrac{2x}{x-4}=\dfrac{8}{0^+}=+\infty$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{3,4\}$. En $x=3$ presenta una discontinuidad de salto finito, de salto $-6-16=-22$, y en $x=4$ una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical $x=4$.

$\textbf{b) [1 punto] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 2}\textbf{.}$

Como $2<3$, en un entorno de ese punto la función es el polinomio de la primera rama, que es el que hay que derivar.

$f(x)=x^2+2x+1\Rightarrow f'(x)=2x+2$

$f(2)=4+4+1=9,\qquad f'(2)=4+2=6$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente.

$y-f(2)=f'(2)(x-2)\Rightarrow y-9=6(x-2)$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=2$ es $y=6x-3$.