Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas $A(2,\,-1,\,3)$ y $B(-2,\,4,\,5)$.

a) [1 punto] Determine la ecuación de la recta que representa la viga.

b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?

c) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos $A$, $B$ y $C(0,0,1)$, determine el área de la placa triangular.

$\textbf{a) [1 punto] Determine la ecuación de la recta que representa la viga.}$











La viga es el segmento que une $A$ y $B$, de modo que la recta que la contiene pasa por $A$ y tiene como vector director el que va de $A$ a $B$.

$\overrightarrow{AB}=(-2,4,5)-(2,-1,3)=(-4,5,2)$

$r:\begin{cases}x=2-4\lambda\\ y=-1+5\lambda\\ z=3+2\lambda\end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$





Despejando el parámetro en las tres ecuaciones obtenemos también su forma continua:

$r:\dfrac{x-2}{-4}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-3}{2}$

$\textbf{b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?}$

La longitud de la viga es la distancia entre sus extremos, es decir, el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$.

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+5^2+2^2}=\sqrt{16+25+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

La viga mide $3\sqrt{5}\approx6{,}7082$ unidades de longitud.

$\textbf{c) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C(0,0,1)}\textbf{, determine el área de la placa triangular.}$

El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan dos de sus lados, y esa área es el módulo del producto vectorial de los vectores correspondientes.

$\overrightarrow{AC}=(0,0,1)-(2,-1,3)=(-2,1,-2)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-4&5&2\\-2&1&-2\end{vmatrix}=(-12,-12,6)$

$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-12)^2+(-12)^2+6^2}=\sqrt{144+144+36}=\sqrt{324}=18$

$\text{Área}=\dfrac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac{18}{2}=9$

La placa triangular tiene un área de $9$ unidades cuadradas.