Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1\ \text{dm}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.



a) [1 punto] Determine la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).

b) [1 punto] Calcule, razonadamente, los valores de $x$ e $y$, para que la superficie sea mínima.

c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determine la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el $\text{dm}^2$.

$\textbf{a) [1 punto] Determine la función de la superficie del envase en función de } \boldsymbol{x}\textbf{ (incluidas las dos bases).}$

El envase es un prisma recto de base cuadrada de lado $x$ y altura $y$. Su superficie total la forman las dos bases cuadradas y las cuatro caras laterales rectangulares.

$S=2x^2+4xy$

Para dejar la superficie en función de una sola variable usamos el dato del volumen, que relaciona $x$ e $y$.

$V=x^2y=1\Rightarrow y=\dfrac{1}{x^2}$

$S(x)=2x^2+4x\cdot\dfrac{1}{x^2}=2x^2+\dfrac{4}{x},\qquad x>0$

La superficie del envase en función del lado de la base es $S(x)=2x^2+\dfrac{4}{x}\ \text{dm}^2$, definida para $x>0$ porque $x$ es la medida de un lado.

$\textbf{b) [1 punto] Calcule, razonadamente, los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ e } \boldsymbol{y}\textbf{, para que la superficie sea mínima.}$

Buscamos el mínimo de $S(x)$ anulando su derivada primera.

$S'(x)=4x-\dfrac{4}{x^2}$

$S'(x)=0\Rightarrow 4x=\dfrac{4}{x^2}\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1$

Comprobamos con la derivada segunda que ese punto crítico es un mínimo.

$S''(x)=4+\dfrac{8}{x^3}\Rightarrow S''(1)=4+8=12>0$

Como es el único extremo del dominio $x>0$ y la función decrece a su izquierda y crece a su derecha, el mínimo relativo es también el absoluto. La altura correspondiente es

$y=\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{1^2}=1$

La superficie es mínima cuando el envase es un cubo de $1\ \text{dm}$ de arista: $x=1\ \text{dm}$ e $y=1\ \text{dm}$.

$\textbf{c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determine la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el } \boldsymbol{\text{dm}^2}\textbf{.}$

Basta evaluar la función superficie en el valor hallado y multiplicar por el precio del material.

$S(1)=2\cdot1^2+\dfrac{4}{1}=6\ \text{dm}^2$

$\text{Coste}=6\ \text{dm}^2\cdot5\ \text{€/dm}^2=30\ \text{€}$

Cada envase tiene una superficie de $6\ \text{dm}^2$ y cuesta $30$ euros.