Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ 2x + ay + z = a \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}$

a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a = 1$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, e identifique el número de soluciones en cada caso.}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix}a&2&1\\2&a&1\\5&2&1\end{pmatrix},\qquad A^*=\begin{pmatrix}a&2&1&1\\2&a&1&a\\5&2&1&1\end{pmatrix}$

Quien manda en la discusión es el rango de $A$, así que empezamos anulando su determinante.

$|A|=\begin{vmatrix}a&2&1\\2&a&1\\5&2&1\end{vmatrix}=a^2+10+4-5a-2a-4=a^2-7a+10$

$a^2-7a+10=0\Rightarrow a=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm3}{2}\Rightarrow\begin{cases}a=5\\a=2\end{cases}$

Si $a\neq2$ y $a\neq5$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Si $a=2$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}2&2&1&1\\2&2&1&2\\5&2&1&1\end{pmatrix}$

En $A$ el menor $\begin{vmatrix}2&2\\5&2\end{vmatrix}=4-10=-6\neq0$ y $|A|=0$, de modo que $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlando ese menor con la columna de términos independientes,

$\begin{vmatrix}2&2&1\\2&2&2\\5&2&1\end{vmatrix}=4+20+4-10-8-4=6\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

Como $\operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^*)$, el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución. Se ve directamente en las dos primeras ecuaciones, que tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Si $a=5$, la matriz ampliada queda

$A^*=\begin{pmatrix}5&2&1&1\\2&5&1&5\\5&2&1&1\end{pmatrix}$

Ahora la primera y la tercera filas son iguales, de forma que solo quedan dos filas linealmente independientes tanto en $A$ como en $A^*$. Además $\begin{vmatrix}5&2\\2&5\end{vmatrix}=25-4=21\neq0$, luego

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

En resumen: para $a\neq2$ y $a\neq5$ hay solución única; para $a=2$ no hay ninguna solución; y para $a=5$ hay infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

$\textbf{b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{.}$

Para $a=1$ estamos en el caso general del apartado anterior, así que el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases}x+2y+z=1\\2x+y+z=1\\5x+2y+z=1\end{cases},\qquad |A|=1^2-7\cdot1+10=4$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&1\\1&1&1\\1&2&1\end{vmatrix}}{4}=\dfrac{0}{4}=0$

El determinante del numerador es nulo porque su primera y su tercera filas son iguales.

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&1&1\\5&1&1\end{vmatrix}}{4}=\dfrac{1+5+2-5-1-2}{4}=\dfrac{0}{4}=0$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&1\\2&1&1\\5&2&1\end{vmatrix}}{4}=\dfrac{1+10+4-5-2-4}{4}=\dfrac{4}{4}=1$

La solución del sistema para $a=1$ es $x=0$, $y=0$, $z=1$.