Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2020

a) Al incidir luz roja sobre un determinado metal se produce efecto fotoeléctrico. Explique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: i) Si se duplica la intensidad de dicha luz se duplicará también la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos. ii) Si se ilumina con luz azul no se produce efecto fotoeléctrico. [1 punto]

b) Un metal tiene una frecuencia umbral de $2\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ para que se produzca el efecto fotoeléctrico. Si el metal se ilumina con una radiación de longitud de onda de $2\cdot10^{-7}\ \text{m}$, calcule: i) la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos; ii) el potencial de frenado. [1,5 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Al incidir luz roja sobre un determinado metal se produce efecto fotoeléctrico. Explique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: i) Si se duplica la intensidad de dicha luz se duplicará también la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos. ii) Si se ilumina con luz azul no se produce efecto fotoeléctrico. [1 punto]}$

Las dos afirmaciones se discuten con la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$h\,f = W_{\text{ext}} + E_{c,\max}$

i) La afirmación es falsa, y su discusión es precisamente uno de los resultados que la física clásica no supo explicar. La intensidad de la luz mide el número de fotones que llegan por unidad de tiempo, no la energía de cada uno de ellos. Al duplicar la intensidad se arrancan el doble de electrones por segundo, es decir, se duplica la intensidad de la corriente fotoeléctrica, pero cada electrón sigue recibiendo la energía de un solo fotón:

$E_{c,\max} = h\,f - W_{\text{ext}}$

La energía cinética máxima solo depende de la frecuencia de la luz y del metal, no de la intensidad.

ii) La afirmación también es falsa, y de hecho ocurre justo lo contrario. Dentro del espectro visible, la luz azul tiene mayor frecuencia que la roja:

$f_{\text{azul}} > f_{\text{rojo}}$

Si la luz roja ya produce efecto fotoeléctrico, es porque su frecuencia supera la frecuencia umbral del metal. La azul, de frecuencia todavía mayor, la superará con más motivo, así que también producirá efecto fotoeléctrico, y además con fotoelectrones más energéticos.

$\textbf{b) Un metal tiene una frecuencia umbral de }\boldsymbol{2\cdot10^{14}\ \text{Hz}}\textbf{ para que se produzca el efecto fotoeléctrico. Si el metal se ilumina con una radiación de longitud de onda de }\boldsymbol{2\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{, calcule: i) la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos; ii) el potencial de frenado. [1,5 puntos]}$










i) Se calcula primero la energía de los fotones incidentes a partir de su longitud de onda:

$E_{\text{fotón}} = h\,f = \frac{h\,c}{\lambda}$

$E_{\text{fotón}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{2\cdot10^{-7}} = 9{,}95\cdot10^{-19}\ \text{J}$





El trabajo de extracción se obtiene de la frecuencia umbral, que es la mínima capaz de arrancar electrones:

$W_{\text{ext}} = h\,f_0 = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot2\cdot10^{14} = 1{,}33\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Aplicando la ecuación de Einstein se obtiene la energía cinética máxima:

$E_{c,\max} = E_{\text{fotón}} - W_{\text{ext}} = 9{,}95\cdot10^{-19} - 1{,}33\cdot10^{-19}$

$E_{c,\max} = 8{,}62\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y de ella, la velocidad máxima de los fotoelectrones:

$\frac12\,m_e\,v_{\max}^2 = E_{c,\max} \Rightarrow v_{\max} = \sqrt{\frac{2\,E_{c,\max}}{m_e}}$

$v_{\max} = \sqrt{\frac{2\cdot8{,}62\cdot10^{-19}}{9{,}1\cdot10^{-31}}} = 1{,}38\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

ii) El potencial de frenado es la diferencia de potencial que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, de modo que el trabajo eléctrico ha de igualar a su energía cinética máxima:

$e\,V_f = E_{c,\max} \Rightarrow V_f = \frac{E_{c,\max}}{e} = \frac{8{,}62\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}$

$V_f = 5{,}39\ \text{V}$

Los fotoelectrones más rápidos salen a $1{,}38\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ y hacen falta 5,39 V para cortar por completo la corriente fotoeléctrica. Obsérvese que la radiación empleada, de 200 nm, está en el ultravioleta, y su frecuencia, $1{,}5\cdot10^{15}\ \text{Hz}$, es más de siete veces la frecuencia umbral del metal.