Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un mismo planeta de masa $M$ y radio $R$. El primero orbita con radio $4R$ y el segundo $9R$. i) Deduzca la expresión de la velocidad orbital. ii) Determine la relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites. [1 punto]

b) Un satélite de 500 kg de masa orbita en torno a la Tierra a una velocidad de $6300\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Calcule: i) el radio de la órbita del satélite; ii) el peso del satélite en la órbita. [1,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un mismo planeta de masa }\boldsymbol{M}\textbf{ y radio }\boldsymbol{R}\textbf{. El primero orbita con radio }\boldsymbol{4R}\textbf{ y el segundo }\boldsymbol{9R}\textbf{. i) Deduzca la expresión de la velocidad orbital. ii) Determine la relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites. [1 punto]}$










i) La única fuerza que actúa sobre un satélite en órbita es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme, esa fuerza es la centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\frac{M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}$





Se simplifica la masa del satélite, que no interviene, y se despeja la velocidad:

$v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$

ii) Aplicando la expresión a los dos satélites y dividiendo miembro a miembro:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{9R}{4R}} = \sqrt{\frac94}$

$\frac{v_1}{v_2} = \frac32 = 1{,}5$

El satélite más cercano al planeta se mueve 1,5 veces más deprisa que el lejano. Es la regla general de las órbitas: cuanto más alta es la órbita, más despacio se recorre.

$\textbf{b) Un satélite de 500 kg de masa orbita en torno a la Tierra a una velocidad de }\boldsymbol{6300\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{. Calcule: i) el radio de la órbita del satélite; ii) el peso del satélite en la órbita. [1,5 puntos]}$

i) Se despeja el radio de la expresión de la velocidad orbital deducida en el apartado anterior:

$v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} \Rightarrow r = \frac{G\,M_T}{v^2}$

$r = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{6300^2} = \frac{3{,}99\cdot10^{14}}{3{,}97\cdot10^{7}}$

$r = 1{,}00\cdot10^{7}\ \text{m}$

El radio de la órbita es de $1{,}00\cdot10^{7}\ \text{m}$, es decir, unos 10 000 km medidos desde el centro de la Tierra, algo más de 3600 km de altura sobre su superficie.

ii) El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él, y en la órbita no es nulo: es precisamente la fuerza que lo mantiene girando.

$P = G\frac{M_T\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot500}{(1{,}00\cdot10^{7})^2}$

$P = 1{,}97\cdot10^{3}\ \text{N}$

El satélite pesa $1{,}97\cdot10^{3}\ \text{N}$ en su órbita, frente a los 4900 N que pesaría en la superficie terrestre. Conviene deshacer el malentendido habitual: los astronautas de un satélite flotan no porque no haya gravedad, sino porque caen continuamente junto con la nave, y el peso es justo la fuerza que produce esa caída permanente.