Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2020

a) Dibuje de forma aproximada la gráfica que representa la energía de enlace por nucleón en función del número másico e indique, razonadamente, a partir de ella, dónde están favorecidos energéticamente los procesos de fusión y fisión nuclear. [1 punto]

b) La masa atómica del isótopo $^{14}_{6}\text{C}$ es 14,003241 u. Calcule: i) el defecto de masa; ii) la energía de enlace por nucleón. [1,5 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $m_p = 1{,}007276\ \text{u}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{u}$.

$\textbf{a) Dibuje de forma aproximada la gráfica que representa la energía de enlace por nucleón en función del número másico e indique, razonadamente, a partir de ella, dónde están favorecidos energéticamente los procesos de fusión y fisión nuclear. [1 punto]}$










La energía de enlace por nucleón mide lo fuertemente ligado que está cada nucleón dentro del núcleo, y es por tanto la medida de su estabilidad:

$\frac{E_e}{A} = \frac{\Delta m\,c^2}{A}$

La curva crece muy deprisa para los núcleos ligeros, alcanza un máximo de unos 8,8 MeV por nucleón en torno al hierro y decrece lentamente hacia los núcleos pesados.





La lectura energética es la siguiente: cualquier proceso que lleve a los nucleones a una posición más alta de la curva libera energía, porque el sistema queda más ligado y la diferencia de energía de enlace se desprende.

Los procesos de fusión están favorecidos a la izquierda del máximo, es decir, para los núcleos ligeros. Al unir dos de ellos se obtiene un núcleo de número másico mayor, más cerca del máximo, y se libera la diferencia. Es lo que ocurre en el interior de las estrellas.

Los procesos de fisión están favorecidos a la derecha del máximo, es decir, para los núcleos pesados. Al romper uno de ellos en dos fragmentos de masa intermedia, estos quedan también más cerca del máximo, y de nuevo se libera energía. Es lo que ocurre en un reactor nuclear.

En torno al hierro no se libera energía por ninguno de los dos caminos: son los núcleos más estables que existen, y por eso el hierro es el residuo final de la nucleosíntesis estelar.

$\textbf{b) La masa atómica del isótopo }\boldsymbol{^{14}_{6}\text{C}}\textbf{ es 14,003241 u. Calcule: i) el defecto de masa; ii) la energía de enlace por nucleón. [1,5 puntos]}$

i) El isótopo $^{14}_{6}\text{C}$ tiene 6 protones y, por diferencia, 8 neutrones:

$A - Z = 14 - 6 = 8\ \text{neutrones}$

El defecto de masa es la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones por separado y la masa del núcleo:

$\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m_{\text{núcleo}}$

$\Delta m = 6\cdot1{,}007276 + 8\cdot1{,}008665 - 14{,}003241$

$\Delta m = 14{,}112976 - 14{,}003241 = 0{,}109735\ \text{u}$

ii) Se pasa el defecto de masa a kilogramos y se aplica la equivalencia entre masa y energía de Einstein para obtener la energía de enlace total:

$E_e = \Delta m\,c^2 = 0{,}109735\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2$

$E_e = 1{,}64\cdot10^{-11}\ \text{J}$

Y dividiendo entre el número de nucleones se obtiene la energía de enlace por nucleón:

$\frac{E_e}{A} = \frac{1{,}64\cdot10^{-11}}{14}$

$\frac{E_e}{A} = 1{,}17\cdot10^{-12}\ \text{J/nucleón}$

La energía de enlace por nucleón del carbono-14 es de $1{,}17\cdot10^{-12}\ \text{J}$, equivalente a unos 7,3 MeV. El valor encaja bien en la curva del apartado anterior: el carbono está todavía en la zona ascendente, algo por debajo del máximo del hierro, y por eso a los núcleos ligeros les compensa fusionarse.