Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2020

a) Dos ondas armónicas se propagan por el mismo medio a igual velocidad, con la misma amplitud, la misma dirección de propagación y la frecuencia de la primera es el doble que la de la segunda. i) Compare la longitud de onda y el periodo de ambas ondas. ii) Escriba la ecuación de la segunda onda en función de las magnitudes de la primera. [1 punto]

b) La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es $y(x,t) = 5\operatorname{sen}(50\pi t - 20\pi x)$ (S. I.). Calcule: i) la velocidad de propagación de la onda; ii) la velocidad del punto $x = 0$ de la cuerda en el instante $t = 1\ \text{s}$; iii) la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos separados 1 m. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Dos ondas armónicas se propagan por el mismo medio a igual velocidad, con la misma amplitud, la misma dirección de propagación y la frecuencia de la primera es el doble que la de la segunda. i) Compare la longitud de onda y el periodo de ambas ondas. ii) Escriba la ecuación de la segunda onda en función de las magnitudes de la primera. [1 punto]}$

i) El dato de partida es que las dos ondas viajan por el mismo medio y a la misma velocidad, y que $f_1 = 2\,f_2$.

El periodo es el inverso de la frecuencia:

$T = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{f_1}{f_2} = 2 \Rightarrow T_2 = 2\,T_1$

El periodo de la segunda onda es el doble que el de la primera.

La longitud de onda se obtiene de la relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda:

$v = \lambda\,f \Rightarrow \lambda = \frac{v}{f}$

Como la velocidad es la misma para las dos, la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{f_1}{f_2} = 2 \Rightarrow \lambda_2 = 2\,\lambda_1$

La segunda onda tiene el doble de longitud de onda y el doble de periodo. Es coherente: la velocidad la fija el medio, así que si una onda vibra la mitad de veces por segundo, cada ciclo ocupa el doble de espacio.

ii) La ecuación de la primera onda es:

$y_1(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega_1 t - k_1 x)$

Para la segunda, la frecuencia angular y el número de onda son la mitad:

$\omega_2 = 2\pi f_2 = \frac{\omega_1}{2} \qquad k_2 = \frac{2\pi}{\lambda_2} = \frac{k_1}{2}$

Y como la amplitud y la dirección de propagación coinciden:

$y_2(x,t) = A\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\omega_1}{2}\,t - \frac{k_1}{2}\,x\right)$

$\textbf{b) La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es }\boldsymbol{y(x,t) = 5\operatorname{sen}(50\pi t - 20\pi x)}\textbf{ (S. I.). Calcule: i) la velocidad de propagación de la onda; ii) la velocidad del punto }\boldsymbol{x = 0}\textbf{ de la cuerda en el instante }\boldsymbol{t = 1\ \text{s}}\textbf{; iii) la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos separados 1 m. [1,5 puntos]}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t - k x)$

$A = 5\ \text{m} \qquad \omega = 50\pi\ \text{rad/s} \qquad k = 20\pi\ \text{rad/m}$

i) La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v = \frac{\omega}{k} = \frac{50\pi}{20\pi} = 2{,}5\ \text{m/s}$

Los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos, de modo que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$.

ii) La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 5\cdot50\pi\,\cos(50\pi t - 20\pi x)$

$v_y = 250\pi\,\cos(50\pi t - 20\pi x)\ \text{m/s}$

Sustituyendo $x = 0$ y $t = 1\ \text{s}$:

$v_y = 250\pi\,\cos(50\pi) = 250\pi\cdot1$

$v_y = 785\ \text{m/s}$

Se ha usado que $50\pi$ corresponde a 25 vueltas completas, y por tanto su coseno vale la unidad. El punto pasa en ese instante por su posición de equilibrio y a velocidad máxima.

iii) La diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia $\Delta x$ en el mismo instante es:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 20\pi\cdot1$

$\Delta\varphi = 20\pi\ \text{rad}$

Ese valor es un múltiplo entero de $2\pi$, concretamente diez vueltas completas, de modo que los dos puntos vibran en fase. Se comprueba de otro modo: la longitud de onda es $\lambda = 2\pi/k = 0{,}1\ \text{m}$, y en 1 m caben exactamente diez longitudes de onda.