Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

a) Se sitúa una espira circular junto a un hilo recto muy largo por el que circula una corriente $I$, tal y como se muestra en la figura. Razone, ayudándose de un esquema, si se produce corriente inducida y justifique el sentido de la misma en los siguientes casos: i) la espira se mueve paralela al hilo; ii) la espira se mueve hacia la derecha, alejándose del hilo. [1 punto]



b) Una espira cuadrada de 4 cm de lado, situada inicialmente en el plano $XY$, está inmersa en un campo magnético uniforme de 3 T, dirigido en el sentido positivo del eje $X$. La espira gira con una velocidad angular $100\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$ en torno al eje $Y$. Calcule razonadamente, apoyándose en un esquema: i) el flujo magnético en función del tiempo; ii) la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Se sitúa una espira circular junto a un hilo recto muy largo por el que circula una corriente }\boldsymbol{I}\textbf{, tal y como se muestra en la figura. Razone, ayudándose de un esquema, si se produce corriente inducida y justifique el sentido de la misma en los siguientes casos: i) la espira se mueve paralela al hilo; ii) la espira se mueve hacia la derecha, alejándose del hilo. [1 punto]}$

El campo magnético creado por un hilo rectilíneo indefinido tiene por módulo:

$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$

y sus líneas son circunferencias que rodean al hilo. A la derecha del hilo, el campo entra en el plano del papel, y su intensidad disminuye a medida que nos alejamos.

i) Si la espira se mueve paralela al hilo, todos sus puntos mantienen la misma distancia $r$ al conductor, de modo que el campo que la atraviesa no cambia. El flujo magnético permanece constante y, por la ley de Faraday-Lenz:

$\Phi = \text{constante} \Rightarrow \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$

No se induce corriente. Este caso conviene recordarlo: hay movimiento y hay campo, pero no hay variación de flujo y por tanto no hay nada inducido.










ii) Si la espira se aleja del hilo, la distancia $r$ aumenta y el campo que la atraviesa se debilita. El flujo entrante disminuye, de manera que sí se induce corriente.





Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a esa disminución y ha de crear dentro de la espira un campo del mismo sentido que el que está perdiendo, es decir, entrante. Aplicando la regla de la mano derecha, la corriente inducida circula en sentido horario visto por el lector, que es el mismo sentido de giro que tienen las líneas de campo del hilo por ese lado.

$\textbf{b) Una espira cuadrada de 4 cm de lado, situada inicialmente en el plano }\boldsymbol{XY}\textbf{, está inmersa en un campo magnético uniforme de 3 T, dirigido en el sentido positivo del eje }\boldsymbol{X}\textbf{. La espira gira con una velocidad angular }\boldsymbol{100\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}}\textbf{ en torno al eje }\boldsymbol{Y}\textbf{. Calcule razonadamente, apoyándose en un esquema: i) el flujo magnético en función del tiempo; ii) la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo. [1,5 puntos]}$










i) La espira empieza en el plano $XY$, de modo que su vector superficie apunta inicialmente según el eje $Z$. El campo va según el eje $X$, así que en el instante inicial los dos son perpendiculares y el flujo es nulo.

Al girar en torno al eje $Y$, el vector superficie describe el plano $XZ$ y el ángulo que forma con el campo va cambiando uniformemente.





Se expresa el lado en unidades del Sistema Internacional y se calcula la superficie:

$l = 4\ \text{cm} = 4\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$S = l^2 = (4\cdot10^{-2})^2 = 1{,}6\cdot10^{-3}\ \text{m}^2$

Como el flujo parte de cero y crece, la función que lo describe es el seno y no el coseno:

$\Phi(t) = B\,S\,\operatorname{sen}(\omega t) = 3\cdot1{,}6\cdot10^{-3}\,\operatorname{sen}(100\,t)$

$\Phi(t) = 4{,}8\cdot10^{-3}\,\operatorname{sen}(100\,t)\ \text{Wb}$

ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz, se deriva el flujo respecto del tiempo:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -4{,}8\cdot10^{-3}\cdot100\,\cos(100\,t)$

$\varepsilon(t) = -0{,}48\,\cos(100\,t)\ \text{V}$

La fuerza electromotriz inducida es alterna, de amplitud 0,48 V y de la misma frecuencia angular que el giro. Obsérvese que está desfasada un cuarto de periodo respecto del flujo: la fuerza electromotriz es máxima justo cuando el flujo pasa por cero, que es cuando varía más deprisa. Este es, en esencia, el funcionamiento de un alternador.