Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2020

a) El $^{214}_{82}\text{Pb}$ emite una partícula alfa y se transforma en mercurio (Hg) que, a su vez, emite una partícula beta y se transforma en talio (Tl). Escriba, razonadamente, las reacciones de desintegración descritas. [1 punto]

b) Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva que contiene $6\cdot10^{21}$ átomos de un isótopo de Co, cuyo periodo de semidesintegración es de 77,27 días. Calcule: i) la constante de desintegración radiactiva del isótopo de Co; ii) la actividad inicial de la muestra; iii) el número de átomos que se han desintegrado al cabo de 180 días. [1,5 puntos]

$\textbf{a) El }\boldsymbol{^{214}_{82}\text{Pb}}\textbf{ emite una partícula alfa y se transforma en mercurio (Hg) que, a su vez, emite una partícula beta y se transforma en talio (Tl). Escriba, razonadamente, las reacciones de desintegración descritas. [1 punto]}$

En toda desintegración nuclear se conservan el número másico y el número atómico. Con eso basta para completar las dos reacciones.

Una partícula alfa es un núcleo de helio, $^{4}_{2}\text{He}$, de modo que en una emisión alfa el número másico disminuye en cuatro unidades y el número atómico en dos:

$^{214}_{82}\text{Pb} \longrightarrow\ ^{A}_{Z}\text{Hg} + ^{4}_{2}\text{He}$

$A = 214 - 4 = 210 \qquad Z = 82 - 2 = 80$

$^{214}_{82}\text{Pb} \longrightarrow\ ^{210}_{80}\text{Hg} + ^{4}_{2}\text{He}$

El número atómico 80 corresponde efectivamente al mercurio, como decía el enunciado.

Una partícula beta es un electrón, $^{0}_{-1}e$, que procede de la conversión de un neutrón en un protón dentro del núcleo. En una emisión beta el número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad:

$^{210}_{80}\text{Hg} \longrightarrow\ ^{A}_{Z}\text{Tl} + ^{0}_{-1}e$

$A = 210 \qquad Z = 80 + 1 = 81$

$^{210}_{80}\text{Hg} \longrightarrow\ ^{210}_{81}\text{Tl} + ^{0}_{-1}e$

De nuevo el número atómico 81 corresponde al talio. Encadenando las dos reacciones, el proceso global es:

$^{214}_{82}\text{Pb} \longrightarrow\ ^{210}_{81}\text{Tl} + ^{4}_{2}\text{He} + ^{0}_{-1}e$

$\textbf{b) Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva que contiene }\boldsymbol{6\cdot10^{21}}\textbf{ átomos de un isótopo de Co, cuyo periodo de semidesintegración es de 77,27 días. Calcule: i) la constante de desintegración radiactiva del isótopo de Co; ii) la actividad inicial de la muestra; iii) el número de átomos que se han desintegrado al cabo de 180 días. [1,5 puntos]}$

i) La constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración imponiendo que en ese tiempo quede la mitad de los núcleos:

$N = N_0\,e^{-\lambda\,T_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Conviene expresar el periodo en unidades del Sistema Internacional, porque la actividad se mide en desintegraciones por segundo:

$T_{1/2} = 77{,}27\ \text{días}\cdot\frac{86400\ \text{s}}{1\ \text{día}} = 6{,}676\cdot10^{6}\ \text{s}$

$\lambda = \frac{\ln 2}{6{,}676\cdot10^{6}} = 1{,}04\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1}$

ii) La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A_0 = \lambda\,N_0 = 1{,}04\cdot10^{-7}\cdot6\cdot10^{21}$

$A_0 = 6{,}23\cdot10^{14}\ \text{Bq}$

iii) Se aplica la ley de desintegración radiactiva. Es más cómodo trabajar en días, usando la constante equivalente:

$\lambda = \frac{\ln 2}{77{,}27} = 8{,}97\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$

$N = N_0\,e^{-\lambda t} = 6\cdot10^{21}\,e^{-8{,}97\cdot10^{-3}\cdot180}$

$N = 6\cdot10^{21}\cdot0{,}199 = 1{,}19\cdot10^{21}\ \text{átomos}$

Ese es el número de átomos que quedan sin desintegrar. Los que se han desintegrado son la diferencia:

$N_{\text{desintegrados}} = N_0 - N = 6\cdot10^{21} - 1{,}19\cdot10^{21}$

$N_{\text{desintegrados}} = 4{,}81\cdot10^{21}\ \text{átomos}$

Al cabo de 180 días se ha desintegrado el 80 % de la muestra. Es lo esperable: 180 días son algo más de dos periodos de semidesintegración, y tras dos periodos queda la cuarta parte, es decir, un 25 %.